Номер 2, страница 43 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

ЗАДАЧА 2. Длинная доска массой $\text{M}$ лежит на гладком горизонтальном столе. На доске находится брусок массой $\text{m}$. Коэффициент трения между бруском и доской равен $\mu$. К бруску приложена сила, параллельная доске, её модуль зависит от времени по закону $F = \alpha t$. Исследуйте зависимость проекций ускорений бруска и доски на горизонтальную ось от времени действия силы. Начертите графики этих зависимостей.

Решение. Относительно инерциальной системы отсчёта, связанной с Землёй, на брусок действуют две силы: внешняя сила $\text{F}$ и сила трения $f_1$ со стороны доски, направленная в сторону, противоположную направлению внешней силы $\text{F}$. На доску действует только одна неуравновешенная сила $f_2$ — сила трения со стороны бруска (рис. 1.18). Силы тяжести, действующие на доску и брусок, уравновешиваются упругими силами нормальной реакции опор.

Уравнения второго закона Ньютона в проекции на ось ОХ, направленную параллельно вектору силы $\text{F}$ (рис. 1.19), можно записать в виде $F_x + f_{1x} = ma_{1x}$, $f_{2x} = Ma_{2x}$, где $F_x = F$, $f_{1x} = -f$, $f_{2x} = f$.

Следовательно, $F - f = ma_{1x}$, $f = Ma_{2x}$.

Эти уравнения имеют смысл только при значениях $a_{1x} \ge a_{2x}$, так как по условию задачи доска не может двигаться быстрее бруска.

В начале движения ускорения бруска и доски равны между собой: $a_{1x} = a_{2x}$, откуда $\frac{F-f}{m} = \frac{f}{M}$.

Эти ускорения будут увеличиваться со временем до тех пор, пока брусок не станет скользить по доске. Обозначим этот момент времени через $t_0$. Предельное значение силы $F_0$, при котором ускорения доски и бруска ещё равны, можно определить из условия $\frac{F_0-f_0}{m} = \frac{f_0}{M}$, где $f_0 = \mu mg$ — максимальное значение силы трения покоя, равное силе трения скольжения.

Итак, $\frac{F_0 - \mu mg}{m} = \frac{\mu mg}{M}$, $F_0 = \mu mg \left(1+\frac{m}{M}\right)$.

Если $F \le F_0$, то $a_{1x} = a_{2x} = \frac{F}{m+M}$.

Таким образом, до момента времени $t_0$, равного $t_0 = \frac{F_0}{\alpha} = \frac{\mu mg}{\alpha} \left(1+\frac{m}{M}\right)$, проекции ускорения обоих тел одинаковы и растут по линейному закону: $a = a_{1x} = a_{2x} = \frac{F}{m+M} = \frac{\alpha t}{m+M}$.

При $t > t_0$ проекции ускорения доски и бруска будут разными. Проекция ускорения доски, достигнув значения $a_{2x} = \frac{\mu mg}{M}$, останется с течением времени неизменной, в то время как проекция ускорения бруска будет увеличиваться со временем по закону $a_{1x} = \frac{\alpha t - \mu mg}{m} = \frac{\alpha t}{m} - \mu g$.

Графически зависимости ускорений бруска и доски от времени показаны на рисунке 1.20.

Рис. 1.20

Дано:

Длинная доска массой $\text{M}$ на гладком горизонтальном столе.

На доске брусок массой $\text{m}$.

Коэффициент трения между бруском и доской равен $\mu$.

К бруску приложена горизонтальная сила $\text{F}$, модуль которой зависит от времени по закону $F = \alpha t$, где $\alpha$ - постоянный коэффициент.

Найти:

Зависимости проекций ускорений бруска $a_1(t)$ и доски $a_2(t)$ на горизонтальную ось от времени. Начертить графики этих зависимостей.

Решение:

Выберем инерциальную систему отсчёта, связанную со столом. Направим ось OX в сторону действия силы $\text{F}$. Рассмотрим силы, действующие на брусок и доску в проекции на ось OX.
На брусок действуют: внешняя сила $\text{F}$ и сила трения со стороны доски $f_{тр}$.
На доску действует только сила трения со стороны бруска $f_{тр}$.
Согласно второму закону Ньютона, запишем уравнения движения для бруска (1) и доски (2):
1) Для бруска: $F - f_{тр} = ma_1$
2) Для доски: $f_{тр} = Ma_2$

Движение системы можно разделить на два этапа.

Этап 1: Движение без проскальзывания ($0 \le t \le t_0$).

Пока приложенная сила $\text{F}$ невелика, сила трения покоя $f_{тр}$ достаточна, чтобы брусок не скользил по доске. В этом случае брусок и доска движутся как единое целое с одинаковым ускорением $a = a_1 = a_2$.
Сложив два уравнения, получим уравнение для системы в целом:
$F = (m+M)a$
Поскольку $F = \alpha t$, ускорение системы линейно зависит от времени:
$a(t) = a_1(t) = a_2(t) = \frac{F}{m+M} = \frac{\alpha t}{m+M}$

Этот режим движения продолжается до тех пор, пока сила трения, необходимая для совместного движения, не превысит максимальную силу трения покоя $f_{тр.макс} = \mu N = \mu mg$. Момент времени $t_0$, когда начинается проскальзывание, определяется из этого условия.
Сила трения, действующая на доску, в этот момент равна $f_{тр}(t_0) = Ma_2(t_0) = M \frac{\alpha t_0}{m+M}$.
Приравниваем ее к максимальной силе трения покоя:
$M \frac{\alpha t_0}{m+M} = \mu mg$
Отсюда находим время начала проскальзывания $t_0$:
$t_0 = \frac{\mu mg (m+M)}{M\alpha} = \frac{\mu g}{\alpha} \left(m+\frac{m^2}{M}\right)$
Альтернативно, как в тексте задачи, можно найти предельную силу $F_0 = \alpha t_0$. В момент начала скольжения $a_1 = a_2$, $f_{тр}=\mu mg$.
$\frac{F_0 - \mu mg}{m} = \frac{\mu mg}{M} \implies F_0 = \mu mg \left(1 + \frac{m}{M}\right)$
$t_0 = \frac{F_0}{\alpha} = \frac{\mu mg}{\alpha} \left(1 + \frac{m}{M}\right)$

Этап 2: Движение с проскальзыванием ($t > t_0$).

При $t > t_0$ брусок скользит по доске. Сила трения, действующая между телами, становится равной силе трения скольжения и постоянна по величине: $f_{тр} = \mu mg$. Ускорения бруска и доски становятся разными.

Ускорение доски ($a_2$):
На доску действует только сила трения скольжения $f_{тр} = \mu mg$.
$Ma_2 = \mu mg$
Ускорение доски становится постоянным:
$a_2 = \frac{\mu mg}{M}$
Это значение равно ускорению в конце первого этапа: $a(t_0) = \frac{\alpha t_0}{m+M} = \frac{\alpha}{m+M} \frac{\mu mg(m+M)}{M\alpha} = \frac{\mu mg}{M}$.

Ускорение бруска ($a_1$):
На брусок действуют сила $F = \alpha t$ и сила трения скольжения $\mu mg$.
$ma_1 = F - f_{тр} = \alpha t - \mu mg$
Ускорение бруска продолжает расти линейно со временем, но по другому закону:
$a_1(t) = \frac{\alpha t - \mu mg}{m} = \frac{\alpha}{m} t - \mu g$

Графики зависимостей $a(t)$:
На временном интервале $0 \le t \le t_0$ графики ускорений бруска и доски совпадают и представляют собой прямую линию, выходящую из начала координат с угловым коэффициентом $k_1 = \frac{\alpha}{m+M}$.
В момент времени $t_0$ ускорение достигает значения $a(t_0) = \frac{\mu mg}{M}$.
При $t > t_0$ график для доски $a_2(t)$ представляет собой горизонтальную прямую на уровне $a_2 = \frac{\mu mg}{M}$.
График для бруска $a_1(t)$ при $t > t_0$ представляет собой прямую линию с большим угловым коэффициентом $k_2 = \frac{\alpha}{m} > k_1$, которая является продолжением общего графика из точки $(t_0, a(t_0))$.

Ответ:

Зависимости проекций ускорений бруска $a_1$ и доски $a_2$ от времени $\text{t}$ имеют вид:

При $0 \le t \le \frac{\mu mg}{\alpha} \left(1 + \frac{m}{M}\right)$:
$a_1(t) = a_2(t) = \frac{\alpha t}{m+M}$

При $t > \frac{\mu mg}{\alpha} \left(1 + \frac{m}{M}\right)$:
$a_1(t) = \frac{\alpha}{m} t - \mu g$
$a_2(t) = \frac{\mu mg}{M}$ (const)