Номер 3, страница 52 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

3. Какими сведениями необходимо располагать о спутнике планеты для того, чтобы можно было определить массу планеты?

Для определения массы планеты, имея данные о ее спутнике, необходимо использовать закон всемирного тяготения и законы движения тела по окружности. Движение спутника по орбите происходит под действием силы гравитационного притяжения со стороны планеты, которая сообщает спутнику центростремительное ускорение.

Решение

Будем считать, что спутник движется по круговой орбите. В этом случае сила всемирного тяготения, действующая на спутник, равна центростремительной силе:

$F_g = F_c$

Сила всемирного тяготения $F_g$ определяется по формуле:

$F_g = G \frac{M \cdot m}{r^2}$

где $\text{G}$ — гравитационная постоянная ($G \approx 6.674 \times 10^{-11} \frac{Н \cdot м^2}{кг^2}$), $\text{M}$ — масса планеты, $\text{m}$ — масса спутника, $\text{r}$ — радиус орбиты спутника (расстояние от центра планеты до спутника).

Центростремительная сила $F_c$, действующая на спутник, равна:

$F_c = m \cdot a_c = m \frac{v^2}{r}$

где $\text{v}$ — орбитальная скорость спутника.

Приравнивая эти две силы, получаем:

$G \frac{M \cdot m}{r^2} = m \frac{v^2}{r}$

Масса спутника $\text{m}$ сокращается, что важно, так как это означает, что масса самого спутника нам не нужна.

$G \frac{M}{r^2} = \frac{v^2}{r}$

Из этого уравнения можно выразить массу планеты $\text{M}$:

$M = \frac{v^2 \cdot r}{G}$

Из этой формулы видно, что для определения массы планеты $\text{M}$ необходимо знать радиус орбиты спутника $\text{r}$ и его орбитальную скорость $\text{v}$. Гравитационная постоянная $\text{G}$ является известной величиной.

Часто вместо скорости спутника измеряют его период обращения $\text{T}$ — время, за которое спутник совершает один полный оборот вокруг планеты. Скорость связана с периодом следующим соотношением:

$v = \frac{2 \pi r}{T}$

Подставим это выражение для скорости в формулу для массы планеты:

$M = \frac{(\frac{2 \pi r}{T})^2 \cdot r}{G} = \frac{\frac{4 \pi^2 r^2}{T^2} \cdot r}{G} = \frac{4 \pi^2 r^3}{G T^2}$

Эта формула (являющаяся обобщенным третьим законом Кеплера) показывает, что для определения массы планеты $\text{M}$ достаточно знать радиус орбиты спутника $\text{r}$ и период его обращения $\text{T}$. Это наиболее распространенный способ, так как период и радиус орбиты являются наблюдаемыми астрономическими величинами.

Ответ: Для определения массы планеты необходимо знать либо радиус орбиты спутника и его орбитальную скорость, либо, что более практично, радиус орбиты спутника и период его обращения вокруг планеты.