Номер 17.2, страница 102 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

17.2. Рассчитайте периоды колебаний математического маятника длиной $\text{l}$, подвешенного в лифте, в следующих случаях:

а) лифт движется равномерно;

б) лифт поднимается с ускорением $\text{a}$, направленным вертикально вверх;

в) лифт опускается с ускорением $\text{a}$, направленным вертикально вниз.

Дано:

l – длина математического маятника
a – модуль ускорения лифта
g – модуль ускорения свободного падения

Найти:

T – период колебаний маятника в каждом из трех случаев.

Решение:

Период малых колебаний математического маятника в инерциальной системе отсчета (например, в неподвижном лифте) определяется формулой:
$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$
где $\text{l}$ — это длина маятника, а $\text{g}$ — ускорение свободного падения.
Если лифт движется с ускорением $\vec{a}$, то система отсчета, связанная с лифтом, является неинерциальной. В такой системе на тело массой $\text{m}$ действует сила инерции $\vec{F}_{ин} = -m\vec{a}$. Роль ускорения свободного падения будет выполнять эффективное ускорение $\vec{g}_{эфф}$, которое определяется как $\vec{g}_{эфф} = \vec{g} - \vec{a}$.
Формула для периода колебаний в неинерциальной системе отсчета примет вид:
$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g_{эфф}}}$
где $g_{эфф}$ — это модуль вектора эффективного ускорения $\vec{g}_{эфф}$.
Рассмотрим каждый случай отдельно.

а) лифт движется равномерно;
При равномерном движении ускорение лифта равно нулю: $a = 0$. Система отсчета, связанная с лифтом, является инерциальной. Эффективное ускорение равно ускорению свободного падения: $g_{эфф} = g$.
Таким образом, период колебаний не отличается от периода колебаний в неподвижном лифте.
$T_a = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

Ответ: $T_a = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

б) лифт поднимается с ускорением a, направленным вертикально вверх;
В этом случае вектор ускорения лифта $\vec{a}$ направлен вертикально вверх. Вектор ускорения свободного падения $\vec{g}$ направлен вертикально вниз. Векторы $\vec{g}$ и $\vec{a}$ противоположно направлены.
Найдем модуль эффективного ускорения. Так как $\vec{g}_{эфф} = \vec{g} - \vec{a}$, а векторы $\vec{g}$ и $(-\vec{a})$ сонаправлены (оба направлены вниз), то модуль их векторной суммы равен сумме их модулей:
$g_{эфф} = |\vec{g} - \vec{a}| = |\vec{g} + (-\vec{a})| = g + a$
Период колебаний в этом случае равен:
$T_б = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g+a}}$

Ответ: $T_б = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g+a}}$

в) лифт опускается с ускорением a, направленным вертикально вниз.
В этом случае вектор ускорения лифта $\vec{a}$ направлен вертикально вниз, так же как и вектор ускорения свободного падения $\vec{g}$. Векторы $\vec{g}$ и $\vec{a}$ сонаправлены.
Найдем модуль эффективного ускорения. Так как $\vec{g}_{эфф} = \vec{g} - \vec{a}$, и векторы $\vec{g}$ и $\vec{a}$ сонаправлены, модуль их векторной разности равен разности модулей (при условии $g > a$, что необходимо для существования колебаний):
$g_{эфф} = |\vec{g} - \vec{a}| = g - a$
Период колебаний в этом случае равен:
$T_в = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g-a}}$

Ответ: $T_в = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g-a}}$