Номер 17.3, страница 102 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

17.3. Рассчитайте период колебаний математического маятника длиной $\text{l}$, подвешенного в вагоне, при движении вагона в горизонтальном направлении с ускорением $\text{a}$.

Дано:

Длина математического маятника: $\text{l}$

Горизонтальное ускорение вагона: $\text{a}$

Ускорение свободного падения: $\text{g}$

Найти:

Период колебаний маятника: $\text{T}$

Решение:

Задача рассматривается в неинерциальной системе отсчета, связанной с движущимся вагоном. В такой системе на тела, помимо реальных сил, действует так называемая сила инерции.

На груз маятника массой $\text{m}$ в системе отсчета вагона действуют три силы:
1. Сила тяжести $\vec{F}_g = m\vec{g}$, направленная вертикально вниз.
2. Сила натяжения нити $\vec{T}$, направленная вдоль нити.
3. Сила инерции $\vec{F}_{ин} = -m\vec{a}$, направленная горизонтально в сторону, противоположную ускорению вагона.

Под действием силы тяжести и силы инерции маятник отклоняется от вертикали и занимает новое положение равновесия. Силы $\vec{F}_g$ и $\vec{F}_{ин}$ можно заменить одной эффективной силой $\vec{F}_{эфф}$, которая является их векторной суммой:

$\vec{F}_{эфф} = \vec{F}_g + \vec{F}_{ин}$

Поскольку сила тяжести направлена вертикально, а сила инерции — горизонтально, эти векторы перпендикулярны. Модуль эффективной силы можно найти по теореме Пифагора:

$F_{эфф} = \sqrt{F_g^2 + F_{ин}^2} = \sqrt{(mg)^2 + (ma)^2} = m\sqrt{g^2 + a^2}$

Маятник совершает колебания вокруг нового положения равновесия, которое направлено вдоль вектора $\vec{F}_{эфф}$. При малом отклонении маятника от этого положения на угол $\phi$ возникает возвращающая сила $F_{возвр}$. Эта сила представляет собой компоненту эффективной силы $\vec{F}_{эфф}$, перпендикулярную нити:

$F_{возвр} = -F_{эфф} \sin\phi$

Для малых колебаний можно считать, что $\sin\phi \approx \phi$. Тогда возвращающая сила будет:

$F_{возвр} \approx -F_{эфф} \phi = -m\sqrt{g^2 + a^2} \phi$

Запишем второй закон Ньютона для движения груза маятника по дуге окружности. Тангенциальное ускорение груза равно $a_t = l\ddot{\phi}$.

$ma_t = F_{возвр}$

$ml\ddot{\phi} = -m\sqrt{g^2 + a^2} \phi$

Сократим массу $\text{m}$ и перегруппируем члены, чтобы получить дифференциальное уравнение гармонических колебаний:

$\ddot{\phi} + \frac{\sqrt{g^2 + a^2}}{l} \phi = 0$

Это стандартное уравнение гармонических колебаний вида $\ddot{\phi} + \omega^2\phi = 0$, где $\omega$ — циклическая частота колебаний. Сравнивая уравнения, находим квадрат циклической частоты:

$\omega^2 = \frac{\sqrt{g^2 + a^2}}{l}$

Период колебаний $\text{T}$ связан с циклической частотой соотношением $T = \frac{2\pi}{\omega}$. Подставим в эту формулу наше выражение для $\omega$:

$T = \frac{2\pi}{\sqrt{\frac{\sqrt{g^2 + a^2}}{l}}} = 2\pi\sqrt{\frac{l}{\sqrt{g^2 + a^2}}}$

Ответ: $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{\sqrt{g^2 + a^2}}}$