Задача, страница 101 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

ЗАДАЧА. Рассчитайте период малых колебаний математического маятника.

Решение. При отклонении маятника от положения равновесия момент $\text{M}$ силы тяжести относительно точки подвеса равен $M = mgd = mgl\sin\alpha$.

Под действием этого момента сил маятник движется с угловым ускорением $\varepsilon$, определяемым уравнением динамики вращательного движения: $M = I\varepsilon$, где $\text{I}$ — момент инерции маятника, равный $ml^2$. Поскольку $\varepsilon = \alpha''$ (аналогично тому, как $a_x = x''$), получаем $-mgl\sin\alpha = ml^2\alpha''$, или $-g\sin\alpha = l\alpha''$.

Знак «минус» показывает, что возвращающий момент сил направлен в сторону, противоположную отклонению маятника от положения равновесия. Так как по условию задачи амплитуда колебаний мала, то можно записать: $\sin\alpha \approx \alpha$, $-g\alpha = l\alpha''$, $\alpha'' = -ag/l$. Введя обозначение $g/l = \omega_0^2$, получим дифференциальное уравнение гармонических колебаний с периодом $\text{T}$, равным:

$T = 2\pi / \omega_0 = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$.

Решением полученного уравнения является функция $\alpha = \alpha_{max} \sin \omega_0 t$ или $\alpha = \alpha_{max} \cos \omega_0 t$. Вид этой функции определяется выбором момента начала отсчёта времени. Если мы отклоним маятник от положения равновесия, отпустим и одновременно начнём отсчёт времени, то решением уравнения будет функция $\alpha = \alpha_{max} \cos \omega_0 t$, так как при $t = 0$ $\alpha = \alpha_{max}$. Если же мы начнём отсчёт времени в момент прохождения положения равновесия, то решением уравнения будет функция $\alpha = \alpha_{max} \sin \omega_0 t$, так как при $t = 0$ $\alpha = 0$.

При малых значениях угла $\alpha$ отклонение $\text{x}$ маятника от положения равновесия примерно равно длине дуги окружности радиусом $\text{l}$ с центральным углом $\alpha$: $x \approx l\alpha_{max} \sin \omega_0 t$. Обозначив $l\alpha_{max} = x_{max}$, получим $x \approx x_{max} \sin \omega_0 t$, $v = x' = x_{max} \omega_0 \cos \omega_0 t$, т. е. координата $\text{x}$ смещения маятника от положения равновесия и скорость $\text{v}$ изменяются также по гармоническому закону.

Дано:

Рассматривается математический маятник, представляющий собой материальную точку массой $\text{m}$, подвешенную на невесомой нерастяжимой нити длиной $\text{l}$. Колебания происходят под действием силы тяжести с ускорением свободного падения $\text{g}$.

Условие: колебания являются малыми, то есть амплитуда угла отклонения от вертикали мала.

Найти:

Период малых колебаний $\text{T}$.

Решение:

При отклонении маятника от положения равновесия на угол $α$ на него действует сила тяжести $\text{mg}$. Возвращающей силой, стремящейся вернуть маятник в положение равновесия, является тангенциальная составляющая силы тяжести $F_τ = mg \sin\alpha$.

Эта сила создает вращающий момент (момент силы) относительно точки подвеса. Плечо силы в данном случае равно длине нити $\text{l}$. Момент силы $\text{M}$ равен произведению силы на плечо:

$M = F_τ \cdot l = (mg \sin\alpha) \cdot l = mgl \sin\alpha$

Этот момент является возвращающим, то есть он направлен в сторону, противоположную угловому смещению $α$. Поэтому в уравнении движения его следует брать со знаком "минус".

Согласно основному уравнению динамики вращательного движения, момент силы равен произведению момента инерции $\text{I}$ на угловое ускорение $ε$:

$M = Iε$

Для математического маятника (материальной точки на расстоянии $\text{l}$ от оси вращения) момент инерции $\text{I}$ равен $ml^2$. Угловое ускорение $ε$ является второй производной от угла отклонения по времени: $ε = \frac{d^2\alpha}{dt^2} = \alpha''$.

Приравнивая два выражения для момента силы (с учетом знака), получаем:

$ml^2 \alpha'' = -mgl \sin\alpha$

Сократим массу $\text{m}$ и длину $\text{l}$:

$l\alpha'' = -g \sin\alpha$

По условию задачи, мы рассматриваем малые колебания. Для малых углов (в радианах) справедливо приближение: $\sin\alpha \approx \alpha$.

Подставим это приближение в наше уравнение:

$l\alpha'' = -g\alpha$

Перенесем все члены в левую часть:

$\alpha'' + \frac{g}{l}\alpha = 0$

Это дифференциальное уравнение описывает гармонические колебания. Стандартный вид такого уравнения: $x'' + \omega_0^2 x = 0$, где $\omega_0$ - циклическая (угловая) частота колебаний.

Сравнивая наше уравнение со стандартным видом, находим, что квадрат циклической частоты для математического маятника равен:

$\omega_0^2 = \frac{g}{l}$, следовательно, $\omega_0 = \sqrt{\frac{g}{l}}$

Период колебаний $\text{T}$ связан с циклической частотой соотношением $T = \frac{2\pi}{\omega_0}$. Подставив наше значение для $\omega_0$, получим формулу для периода малых колебаний математического маятника:

$T = \frac{2\pi}{\sqrt{g/l}} = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

Ответ:

Период малых колебаний математического маятника рассчитывается по формуле $T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$.