Номер 16.2, страница 95 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

16.2. На границе раздела двух несмешивающихся жидкостей с плотностями $\rho_1 = 900 \text{ кг/м}^3$ и $\rho_2 = 3\rho_1$ плавает шарик (рис. 1.53). Чему должна быть равна плотность $\rho$ шарика, чтобы выше границы раздела жидкостей была треть объёма шарика?

Рис. 1.53

Дано:

$ \rho_1 = 900 \text{ кг/м}^3 $

$ \rho_2 = 3\rho_1 $

$ V_1 = \frac{1}{3}V $ (объем шарика в верхней жидкости, где $\text{V}$ - полный объем шарика)

Найти:

$ \rho $

Решение:

Поскольку шарик плавает на границе раздела двух жидкостей, он находится в равновесии. Это означает, что сила тяжести, действующая на шарик, уравновешена суммой выталкивающих сил (сил Архимеда) от обеих жидкостей.

Сила тяжести, действующая на шарик, определяется по формуле: $ F_g = mg = \rho V g $, где $ \rho $ — искомая плотность шарика, $\text{V}$ — его полный объём, а $\text{g}$ — ускорение свободного падения.

Суммарная выталкивающая сила $ F_A $ складывается из сил, действующих на части шарика, погруженные в каждую из жидкостей:

$ F_A = F_{A1} + F_{A2} $

где $ F_{A1} = \rho_1 g V_1 $ — выталкивающая сила со стороны первой (верхней) жидкости, а $ F_{A2} = \rho_2 g V_2 $ — выталкивающая сила со стороны второй (нижней) жидкости. Здесь $ V_1 $ и $ V_2 $ — объемы частей шарика, находящихся в первой и второй жидкостях соответственно.

Условие равновесия шарика записывается как равенство силы тяжести и суммарной выталкивающей силы:

$ F_g = F_A $

$ \rho V g = \rho_1 g V_1 + \rho_2 g V_2 $

Можно сократить обе части уравнения на $\text{g}$:

$ \rho V = \rho_1 V_1 + \rho_2 V_2 $

Из условия задачи известно, что над границей раздела, то есть в первой жидкости, находится треть объёма шарика. Следовательно, $ V_1 = \frac{1}{3}V $.

Оставшаяся часть шарика находится во второй жидкости, её объём составляет: $ V_2 = V - V_1 = V - \frac{1}{3}V = \frac{2}{3}V $.

Подставим выражения для $ V_1 $ и $ V_2 $ в уравнение равновесия:

$ \rho V = \rho_1 \left(\frac{1}{3}V\right) + \rho_2 \left(\frac{2}{3}V\right) $

Сократим обе части на объём $\text{V}$:

$ \rho = \frac{1}{3}\rho_1 + \frac{2}{3}\rho_2 $

По условию, плотность второй жидкости $ \rho_2 = 3\rho_1 $. Подставим это соотношение в формулу для плотности шарика:

$ \rho = \frac{1}{3}\rho_1 + \frac{2}{3}(3\rho_1) $

$ \rho = \frac{1}{3}\rho_1 + 2\rho_1 $

$ \rho = \left(\frac{1}{3} + 2\right)\rho_1 = \left(\frac{1}{3} + \frac{6}{3}\right)\rho_1 = \frac{7}{3}\rho_1 $

Теперь вычислим численное значение плотности шарика, используя данное значение $ \rho_1 = 900 \text{ кг/м}^3 $:

$ \rho = \frac{7}{3} \times 900 \text{ кг/м}^3 = 7 \times 300 \text{ кг/м}^3 = 2100 \text{ кг/м}^3 $

Ответ: плотность шарика должна быть равна $ \rho = 2100 \text{ кг/м}^3 $.