Номер 3, страница 95 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

3. Во сколько раз различаются скорости тока жидкости в трубках, если диаметры трубок различаются вдвое?

3. Дано:

Отношение диаметров трубок: $\frac{d_1}{d_2} = 2$ (или $\frac{d_2}{d_1} = 2$, что эквивалентно).

Найти:

Отношение скоростей тока жидкости $\frac{v_{большая}}{v_{меньшая}}$

Решение:

Для решения этой задачи используется уравнение неразрывности (или закон сохранения массы) для стационарного потока идеальной (несжимаемой) жидкости. Уравнение гласит, что объемный расход жидкости, то есть объем жидкости, проходящий через любое поперечное сечение трубы за единицу времени, является величиной постоянной.

Объемный расход $\text{Q}$ вычисляется как произведение площади поперечного сечения трубы $\text{S}$ на скорость течения жидкости $\text{v}$:

$Q = S \cdot v = \text{const}$

Применим это уравнение для двух участков трубы с разными диаметрами. Пусть в первой трубке (более широкой) площадь сечения равна $S_1$, а скорость жидкости – $v_1$. Во второй трубке (более узкой) эти величины равны $S_2$ и $v_2$ соответственно.

Тогда можно записать:

$S_1 \cdot v_1 = S_2 \cdot v_2$

Площадь поперечного сечения круглой трубы выражается через ее диаметр $\text{d}$ по формуле:

$S = \pi r^2 = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$

Подставим это выражение в уравнение неразрывности для обеих трубок:

$\frac{\pi d_1^2}{4} \cdot v_1 = \frac{\pi d_2^2}{4} \cdot v_2$

Сократив обе части уравнения на постоянный множитель $\frac{\pi}{4}$, получим:

$d_1^2 \cdot v_1 = d_2^2 \cdot v_2$

Из этого соотношения можно выразить отношение скоростей:

$\frac{v_2}{v_1} = \frac{d_1^2}{d_2^2} = \left(\frac{d_1}{d_2}\right)^2$

Согласно условию, диаметры трубок различаются вдвое. Пусть $d_1$ – диаметр широкой трубки, а $d_2$ – диаметр узкой. Тогда их отношение $\frac{d_1}{d_2} = 2$.

Подставим это значение в полученную формулу:

$\frac{v_2}{v_1} = (2)^2 = 4$

Это означает, что скорость жидкости в узкой трубке ($v_2$) в 4 раза больше, чем скорость в широкой трубке ($v_1$).

Ответ: Скорости тока жидкости в трубках различаются в 4 раза. В трубке, диаметр которой вдвое меньше, скорость жидкости в 4 раза больше.