Номер 15.4, страница 90 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

15.4. Под каким углом могут разлететься два тела одинаковой массы после упругого нецентрального столкновения? (Упругим называется столкновение, при котором кинетическая энергия поступательного движения тел сохраняется; нецентральное столкновение — столкновение, при котором направление относительной скорости первого тела не проходит через центр масс второго тела.)

15.4. Для решения данной задачи воспользуемся законами сохранения импульса и сохранения кинетической энергии, так как столкновение является упругим. Пусть массы тел равны $m_1$ и $m_2$, их скорости до столкновения — $\vec{v}_1$ и $\vec{v}_2$, а после столкновения — $\vec{u}_1$ и $\vec{u}_2$.

Хотя в условии это не указано явно, подобные задачи обычно рассматриваются в системе отсчета, где одно из тел (мишень) до столкновения покоится. Примем это стандартное допущение.

Дано:

Массы тел одинаковы: $m_1 = m_2 = m$.
Второе тело покоится до столкновения: $\vec{v}_2 = 0$.
Столкновение упругое и нецентральное.

Найти:

Угол $\theta$ между векторами скоростей тел $\vec{u}_1$ и $\vec{u}_2$ после столкновения.

Решение:

1. Запишем закон сохранения импульса для системы двух тел. Так как система замкнута (внешние силы отсутствуют или их действие скомпенсировано), полный импульс системы до столкновения равен полному импульсу после столкновения:

$m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2 = m_1\vec{u}_1 + m_2\vec{u}_2$

Подставим наши условия ($m_1 = m_2 = m$ и $\vec{v}_2 = 0$):

$m\vec{v}_1 + 0 = m\vec{u}_1 + m\vec{u}_2$

Сократив массу $\text{m}$, получим векторное соотношение для скоростей:

$\vec{v}_1 = \vec{u}_1 + \vec{u}_2$ (1)

2. Запишем закон сохранения кинетической энергии. Так как столкновение упругое, полная кинетическая энергия системы сохраняется:

$\frac{1}{2}m_1v_1^2 + \frac{1}{2}m_2v_2^2 = \frac{1}{2}m_1u_1^2 + \frac{1}{2}m_2u_2^2$

Подставим наши условия:

$\frac{1}{2}mv_1^2 + 0 = \frac{1}{2}mu_1^2 + \frac{1}{2}mu_2^2$

Умножив обе части на $\frac{2}{m}$, получим скалярное соотношение для квадратов модулей скоростей:

$v_1^2 = u_1^2 + u_2^2$ (2)

3. Теперь объединим полученные результаты. Возведем векторное равенство (1) скалярно в квадрат (то есть умножим его скалярно само на себя):

$\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_1 = (\vec{u}_1 + \vec{u}_2) \cdot (\vec{u}_1 + \vec{u}_2)$

Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения векторов ($\vec{a} \cdot \vec{a} = a^2$ и $\vec{a} \cdot \vec{b} = ab\cos\alpha$):

$v_1^2 = \vec{u}_1 \cdot \vec{u}_1 + 2(\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2) + \vec{u}_2 \cdot \vec{u}_2$

$v_1^2 = u_1^2 + u_2^2 + 2u_1u_2\cos\theta$

где $\theta$ — искомый угол между векторами скоростей $\vec{u}_1$ и $\vec{u}_2$.

4. Подставим в полученное выражение равенство (2) из закона сохранения энергии ($v_1^2 = u_1^2 + u_2^2$):

$u_1^2 + u_2^2 = u_1^2 + u_2^2 + 2u_1u_2\cos\theta$

Вычитая $u_1^2 + u_2^2$ из обеих частей, получаем:

$0 = 2u_1u_2\cos\theta$

Поскольку столкновение нецентральное, оба тела после него придут в движение, то есть их скорости не равны нулю: $u_1 \neq 0$ и $u_2 \neq 0$. Следовательно, для выполнения равенства необходимо, чтобы:

$\cos\theta = 0$

Отсюда находим угол:

$\theta = 90^\circ$ или $\frac{\pi}{2}$ радиан.

Геометрически это означает, что векторы скоростей после столкновения $\vec{u}_1$ и $\vec{u}_2$ взаимно перпендикулярны. Соотношения (1) и (2) показывают, что векторы $\vec{v}_1$, $\vec{u}_1$ и $\vec{u}_2$ образуют прямоугольный треугольник, где $\vec{v}_1$ — гипотенуза, а $\vec{u}_1$ и $\vec{u}_2$ — катеты.

Ответ: После упругого нецентрального столкновения два тела одинаковой массы разлетаются под углом $90^\circ$ друг к другу (при условии, что одно из тел до столкновения покоилось).