Номер 15.3, страница 90 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

15.3. Пуля массой 5 г попадает в ящик с песком массой 1 кг, подвешенный на тросе. Максимальное отклонение ящика от положения равновесия таково, что его центр тяжести поднялся на высоту 0,2 м от первоначального уровня. Определите скорость пули.

Дано:

Масса пули, $m_1 = 5 \text{ г}$
Масса ящика с песком, $m_2 = 1 \text{ кг}$
Высота подъема центра тяжести, $h = 0.2 \text{ м}$

Перевод в систему СИ:
$m_1 = 5 \text{ г} = 0.005 \text{ кг}$

Найти:

Скорость пули, $v_1$

Решение:

Процесс можно разделить на два этапа: абсолютно неупругое столкновение пули с ящиком и последующее движение системы «ящик с пулей» как маятника.

1. Движение ящика с пулей после столкновения.

После того, как пуля застряла в ящике, система «ящик + пуля» начинает движение с начальной скоростью $\text{u}$. В процессе подъема кинетическая энергия системы переходит в потенциальную. По закону сохранения механической энергии, кинетическая энергия системы сразу после удара равна потенциальной энергии в точке максимального подъема.

$\frac{(m_1 + m_2) u^2}{2} = (m_1 + m_2) g h$

где $\text{g}$ — ускорение свободного падения (примем $g \approx 10 \text{ м/с}^2$).

Сократив массу $(m_1 + m_2)$, получим выражение для скорости $\text{u}$ сразу после столкновения:

$\frac{u^2}{2} = g h \implies u = \sqrt{2gh}$

Подставим числовые значения:

$u = \sqrt{2 \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 0.2 \text{ м}} = \sqrt{4 \text{ м}^2/\text{с}^2} = 2 \text{ м/с}$

2. Столкновение пули с ящиком.

Столкновение пули с ящиком является абсолютно неупругим, так как пуля застревает в песке. Для этого процесса выполняется закон сохранения импульса. Импульс системы до столкновения равен импульсу системы после столкновения.

Импульс до столкновения (ящик покоится, его скорость равна нулю):

$p_{до} = m_1 v_1$

Импульс после столкновения (ящик и пуля движутся вместе со скоростью $\text{u}$):

$p_{после} = (m_1 + m_2) u$

По закону сохранения импульса:

$m_1 v_1 = (m_1 + m_2) u$

Выразим искомую скорость пули $v_1$:

$v_1 = \frac{(m_1 + m_2) u}{m_1}$

Подставим известные и вычисленные значения:

$v_1 = \frac{(0.005 \text{ кг} + 1 \text{ кг}) \cdot 2 \text{ м/с}}{0.005 \text{ кг}} = \frac{1.005 \text{ кг} \cdot 2 \text{ м/с}}{0.005 \text{ кг}} = 201 \cdot 2 \text{ м/с} = 402 \text{ м/с}$

Ответ: скорость пули равна $402 \text{ м/с}$.