Номер 4, страница 88 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

ЗАДАЧА 4. Рассчитайте третью космическую скорость, т. е. минимальную скорость, которую надо сообщить космическому кораблю, стартующему с Земли, чтобы он смог покинуть пределы Солнечной системы.

Решение.

Для того чтобы покинуть пределы Солнечной системы, космический корабль массой $\text{m}$ должен обладать скоростью $v_C$ относительно Солнца, определяемой законом сохранения энергии:

$\frac{mv_C^2}{2} - G\frac{mM_C}{R_C} = 0,$

где $M_C = 2 \cdot 10^{30}$ кг — масса Солнца; $R_C = 1,5 \cdot 10^{11}$ м — радиус земной орбиты. Из этого выражения определим скорость корабля относительно Солнца:

$v_C = \sqrt{\frac{2GM_C}{R_C}} = 4,22 \cdot 10^4 \text{ м/с}.$

Корабль вследствие движения вместе с Землёй по орбите вокруг Солнца уже обладает скоростью $v_0$, которую можно найти, применив второй закон Ньютона:

$G\frac{M_C m}{R_C^2} = \frac{mv_0^2}{R_C}.$

Отсюда $v_0 = \sqrt{\frac{GM_C}{R_C}} = 2,98 \cdot 10^4 \text{ м/с}.$

Следовательно, при разгоне корабля в направлении вектора скорости движения Земли по его орбите вокруг Солнца скорость космического корабля относительно Земли для выхода за пределы Солнечной системы должна быть равна:

$v_{k3} = v_C - v_0 = v_0(\sqrt{2}-1) = 1,24 \cdot 10^4 \text{ м/с}.$

Для того чтобы удалить корабль из поля тяготения Земли, ему надо сообщить вторую космическую скорость (её мы рассчитали в предыдущей задаче):

$v_{II} = \sqrt{\frac{2GM_3}{R_3}},$

где $M_3 = 6 \cdot 10^{24}$ кг — масса Земли; $R_3 = 6,4 \cdot 10^6$ м — радиус Земли; $v_{II} = 1,12 \cdot 10^4 \text{ м/с}.$

Следовательно, кинетическая энергия $E_k$, которую надо сообщить космическому кораблю для того, чтобы он покинул Солнечную систему, складывается из кинетической энергии $E_{k1}$, необходимой для того, чтобы его удалить из поля тяготения Земли, и кинетической энергии $E_{k2}$, необходимой для того, чтобы он с орбиты Земли ушёл в космическое пространство: $E_k = E_{k1} + E_{k2}$, или $\frac{mv_{III}^2}{2} = \frac{mv_{II}^2}{2} + \frac{mv_{k3}^2}{2}.$ Отсюда

$v_{III} = \sqrt{v_{II}^2 + v_{k3}^2};$ $v_{III} = \sqrt{1,12^2 \cdot 10^8 + 1,24^2 \cdot 10^8} \text{ (м/с)} = 1,67 \cdot 10^4 \text{ м/с}.$

Дано:

Масса Солнца $M_C = 2 \cdot 10^{30}$ кг

Радиус земной орбиты $R_C = 1,5 \cdot 10^{11}$ м

Масса Земли $M_З = 6 \cdot 10^{24}$ кг

Радиус Земли $R_З = 6,4 \cdot 10^6$ м

Гравитационная постоянная $G \approx 6,67 \cdot 10^{-11}$ Н·м²/кг²

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Третью космическую скорость $v_{III}$.

Решение:

Третья космическая скорость – это минимальная скорость, которую необходимо сообщить телу на поверхности Земли, чтобы оно покинуло пределы Солнечной системы.

Решение задачи состоит из нескольких этапов. Сначала мы определим скорость, необходимую для ухода из Солнечной системы с орбиты Земли, а затем учтём необходимость преодоления притяжения самой Земли.

1. Скорость, необходимая для выхода из Солнечной системы с орбиты Земли (относительно Солнца).

Чтобы космический корабль покинул Солнечную систему, его полная механическая энергия в поле тяготения Солнца должна быть не меньше нуля. Для минимальной скорости она равна нулю. По закону сохранения энергии:

$\frac{mv_C^2}{2} - G\frac{M_C m}{R_C} = 0$

где $v_C$ – параболическая скорость (скорость убегания) относительно Солнца на расстоянии земной орбиты $R_C$.

Отсюда $v_C = \sqrt{\frac{2GM_C}{R_C}}$

Подставим значения: $v_C = \sqrt{\frac{2 \cdot 6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 2 \cdot 10^{30}}{1,5 \cdot 10^{11}}} \approx 4,22 \cdot 10^4$ м/с.

2. Орбитальная скорость Земли.

Космический корабль, находясь на Земле, уже обладает скоростью за счет её движения вокруг Солнца. Эту скорость $v_0$ можно найти из условия, что гравитационная сила Солнца создаёт центростремительное ускорение:

$G\frac{M_C m}{R_C^2} = \frac{mv_0^2}{R_C}$

Отсюда $v_0 = \sqrt{\frac{GM_C}{R_C}} = \sqrt{\frac{6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 2 \cdot 10^{30}}{1,5 \cdot 10^{11}}} \approx 2,98 \cdot 10^4$ м/с.

3. Скорость, которую нужно сообщить кораблю для ухода от Солнца.

Чтобы достичь скорости убегания $v_C$, кораблю, уже имеющему скорость $v_0$, нужно сообщить дополнительную скорость. Наиболее энергетически выгодный старт — в направлении движения Земли по орбите. В этом случае необходимая скорость корабля относительно Земли (в гелиоцентрической системе координат), чтобы покинуть Солнечную систему, будет равна:

$v_{k3} = v_C - v_0 = 4,22 \cdot 10^4 - 2,98 \cdot 10^4 = 1,24 \cdot 10^4$ м/с.

Это скорость, которую должен иметь корабль после того, как он уже покинул сферу действия гравитации Земли.

4. Учёт преодоления гравитации Земли.

Чтобы покинуть гравитационное поле Земли, стартуя с её поверхности, корабль должен обладать энергией, достаточной для преодоления земного притяжения. Эта энергия соответствует сообщению кораблю второй космической скорости $v_{II}$.

$v_{II} = \sqrt{\frac{2GM_З}{R_З}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 6 \cdot 10^{24}}{6,4 \cdot 10^6}} \approx 1,12 \cdot 10^4$ м/с.

5. Расчёт третьей космической скорости $v_{III}$.

Полная кинетическая энергия, которую нужно сообщить кораблю при старте с Земли, является суммой энергии, необходимой для преодоления притяжения Земли, и энергии, необходимой для достижения скорости $v_{k3}$ для ухода от Солнца. По теореме о сложении энергий (или скоростей в данном случае):

$\frac{mv_{III}^2}{2} = \frac{mv_{II}^2}{2} + \frac{mv_{k3}^2}{2}$

Отсюда, третья космическая скорость равна:

$v_{III} = \sqrt{v_{II}^2 + v_{k3}^2}$

Подставим численные значения скоростей:

$v_{III} = \sqrt{(1,12 \cdot 10^4)^2 + (1,24 \cdot 10^4)^2} = \sqrt{1,2544 \cdot 10^8 + 1,5376 \cdot 10^8} = \sqrt{2,792 \cdot 10^8} \approx 1,67 \cdot 10^4$ м/с.

Ответ: $v_{III} \approx 1,67 \cdot 10^4 \text{ м/с}$ (или 16,7 км/с).