Номер 2, страница 86 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

2. Чему равна кинетическая энергия вращательного движения твёрдого тела?

Кинетическая энергия вращательного движения твёрдого тела вокруг неподвижной оси — это сумма кинетических энергий всех материальных точек, из которых состоит тело. Чтобы найти её, необходимо рассмотреть тело как систему частиц.

Представим твёрдое тело, которое вращается вокруг неподвижной оси с угловой скоростью $ω$. Все точки этого тела движутся по окружностям, центры которых лежат на оси вращения, и имеют одинаковую угловую скорость.

Мысленно разобьём тело на множество малых элементов (материальных точек) с массами $m_1, m_2, ..., m_n$. Каждый элемент находится на своём расстоянии $r_i$ от оси вращения.

Линейная скорость $\text{i}$-го элемента связана с угловой скоростью соотношением:
$v_i = ω \cdot r_i$

Кинетическая энергия этого элемента равна:
$E_{k,i} = \frac{m_i v_i^2}{2}$

Подставим выражение для линейной скорости в формулу кинетической энергии элемента:
$E_{k,i} = \frac{m_i (ω \cdot r_i)^2}{2} = \frac{m_i r_i^2 ω^2}{2}$

Полная кинетическая энергия вращающегося твёрдого тела представляет собой сумму кинетических энергий всех его элементов:
$E_k = \sum_{i=1}^{n} E_{k,i} = \sum_{i=1}^{n} \frac{m_i r_i^2 ω^2}{2}$

Так как угловая скорость $ω$ одинакова для всех точек тела, множитель $\frac{ω^2}{2}$ можно вынести за знак суммы:
$E_k = \frac{ω^2}{2} \sum_{i=1}^{n} m_i r_i^2$

Сумма $\sum_{i=1}^{n} m_i r_i^2$ является физической величиной, характеризующей инертные свойства тела при вращательном движении. Она называется моментом инерции тела относительно данной оси вращения и обозначается буквой $\text{I}$:
$I = \sum_{i=1}^{n} m_i r_i^2$

Момент инерции зависит от массы тела, а также от того, как эта масса распределена относительно оси вращения.

С учётом определения момента инерции, формула для кинетической энергии вращательного движения твёрдого тела принимает вид, аналогичный формуле для кинетической энергии поступательного движения ($\frac{mv^2}{2}$), где роль массы выполняет момент инерции, а роль линейной скорости — угловая скорость.

Ответ: Кинетическая энергия вращательного движения твёрдого тела равна половине произведения его момента инерции $\text{I}$ относительно оси вращения на квадрат угловой скорости $ω$. Формула: $E_k = \frac{I ω^2}{2}$.