Номер 5, страница 89 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

ЗАДАЧА 5. Космический корабль обращается вокруг Луны по круговой орбите, радиус которой равен трём радиусам Луны ($R = 3R_\text{Л}$). Какую минимальную скорость нужно сообщить спускаемому аппарату, чтобы он прилунился на противоположной стороне Луны?

Решение.

Начальную скорость $v_0$ космического корабля на круговой орбите определим, используя второй закон Ньютона:

$G \frac{M_\text{Л} m}{R^2} = \frac{m v_0^2}{R}$

где $M_\text{Л}$ — масса Луны; $\text{m}$ — масса космического корабля. Отсюда

$v_0 = \sqrt{\frac{G M_\text{Л}}{R}} = \sqrt{\frac{G M_\text{Л}}{3R_\text{Л}}}$

Рис. 1.48

Спускаемый аппарат массой $m_1$ должен двигаться по эллиптической орбите, касающейся поверхности Луны в точке B (рис. 1.48). При движении по этой траектории выполняются законы сохранения энергии и момента импульса:

$\frac{m_1 v_1^2}{2} - G \frac{M_\text{Л} m_1}{R} = \frac{m_1 v_2^2}{2} - G \frac{M_\text{Л} m_1}{R_\text{Л}}$ (1)

$m_1 v_1 R \sin \varphi_A = m_1 v_2 R_\text{Л} \sin \varphi_B$ (2)

так как $\varphi_A = 90^\circ$, $\varphi_B = 90^\circ$, то $v_1 R = v_2 R_\text{Л}$.

Решая полученную систему уравнений и учитывая, что $R = 3R_\text{Л}$, получаем

$v_2^2 - v_1^2 = 2 G M_\text{Л} \left( \frac{1}{R_\text{Л}} - \frac{1}{3R_\text{Л}} \right)$, $v_1 3R_\text{Л} = v_2 R_\text{Л}$, $8 v_1^2 = 2 G M_\text{Л} \frac{2}{3R_\text{Л}}$

$\begin{cases} v_1 = \sqrt{G M_\text{Л} / 6R_\text{Л}}, \\ v_2 = 3 v_1. \end{cases}$

Из сравнения выражений для $v_0$ и $v_1$ видно, что $v_1 < v_0$. Следовательно, спускаемому аппарату нужно сообщить скорость в направлении, противоположном вектору скорости $\vec{v}_0$. Модуль скорости равен:

$v = v_0 - v_1 = \sqrt{\frac{G M_\text{Л}}{3R_\text{Л}}} - \sqrt{\frac{G M_\text{Л}}{6R_\text{Л}}}=$

$= \sqrt{\frac{G M_\text{Л}}{R_\text{Л}}} \left( \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{6}} \right)=$

$= \sqrt{\frac{G M_\text{Л}}{R_\text{Л}}} (0,577-0,408) = 0,169 \sqrt{\frac{G M_\text{Л}}{R_\text{Л}}}$

Масса и радиус Луны известны (значения берём из справочника): $R_\text{Л} = 1737$ км, $M_\text{Л} = 7,35 \cdot 10^{22}$ кг. Тогда $v = 284$ м/с.

Дано:

Радиус круговой орбиты корабля $R = 3R_Л$

Радиус Луны $R_Л = 1737 \text{ км}$

Масса Луны $M_Л = 7,35 \cdot 10^{22} \text{ кг}$

Гравитационная постоянная $G = 6,674 \cdot 10^{-11} \text{ Н} \cdot \text{м}^2/\text{кг}^2$

Перевод в систему СИ:

$R_Л = 1737 \cdot 10^3 \text{ м} = 1,737 \cdot 10^6 \text{ м}$

$R = 3 \cdot 1,737 \cdot 10^6 \text{ м} = 5,211 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

$\text{v}$ — минимальная скорость, которую нужно сообщить спускаемому аппарату.

Решение:

1. Сначала определим скорость $v_0$ космического корабля на круговой орбите. Гравитационная сила, действующая на корабль со стороны Луны, сообщает ему центростремительное ускорение. Согласно второму закону Ньютона:

$F_{гравит} = F_{центр}$

$G \frac{M_Л m}{R^2} = \frac{m v_0^2}{R}$

где $\text{m}$ — масса корабля. Сократив $\text{m}$ и $\text{R}$, получим выражение для скорости:

$v_0 = \sqrt{\frac{G M_Л}{R}}$

Учитывая, что $R = 3R_Л$, начальная скорость корабля равна:

$v_0 = \sqrt{\frac{G M_Л}{3R_Л}}$

2. Чтобы спускаемый аппарат прилунился на противоположной стороне Луны, его нужно перевести на эллиптическую орбиту. Точка старта (точка А) будет апоцентром (самой далёкой точкой) этой новой орбиты, а точка прилунения (точка B) — перицентром (самой близкой точкой). Расстояние до апоцентра $r_a = R = 3R_Л$, а расстояние до перицентра $r_p = R_Л$.

Обозначим скорость аппарата в точке А как $v_1$, а в точке B как $v_2$. Для движения по эллиптической орбите в поле тяготения должны выполняться законы сохранения энергии и момента импульса.

3. Закон сохранения момента импульса (второй закон Кеплера):

$m_1 v_1 r_a = m_1 v_2 r_p$

где $m_1$ - масса спускаемого аппарата. В точках A и B вектор скорости перпендикулярен радиус-вектору. Подставляем значения расстояний:

$v_1 (3R_Л) = v_2 (R_Л)$

$v_2 = 3v_1$

4. Закон сохранения механической энергии:

$E_A = E_B$

$\frac{m_1 v_1^2}{2} - G \frac{M_Л m_1}{r_a} = \frac{m_1 v_2^2}{2} - G \frac{M_Л m_1}{r_p}$

Сократим массу аппарата $m_1$ и подставим $r_a = 3R_Л$, $r_p = R_Л$:

$\frac{v_1^2}{2} - G \frac{M_Л}{3R_Л} = \frac{v_2^2}{2} - G \frac{M_Л}{R_Л}$

5. Теперь решим систему из двух уравнений, подставив выражение для $v_2$ из закона сохранения момента импульса в закон сохранения энергии:

$\frac{v_1^2}{2} - G \frac{M_Л}{3R_Л} = \frac{(3v_1)^2}{2} - G \frac{M_Л}{R_Л}$

$\frac{v_1^2}{2} - \frac{G M_Л}{3R_Л} = \frac{9v_1^2}{2} - \frac{G M_Л}{R_Л}$

Перегруппируем слагаемые, чтобы найти $v_1$:

$G \frac{M_Л}{R_Л} - G \frac{M_Л}{3R_Л} = \frac{9v_1^2}{2} - \frac{v_1^2}{2}$

$G M_Л (\frac{1}{R_Л} - \frac{1}{3R_Л}) = \frac{8v_1^2}{2} = 4v_1^2$

$G M_Л \frac{2}{3R_Л} = 4v_1^2$

$v_1^2 = \frac{2 G M_Л}{12 R_Л} = \frac{G M_Л}{6R_Л}$

$v_1 = \sqrt{\frac{G M_Л}{6R_Л}}$

6. Минимальная скорость, которую нужно сообщить аппарату, — это разница между начальной скоростью на круговой орбите $v_0$ и скоростью $v_1$, необходимой для перехода на эллиптическую траекторию. Поскольку $v_1 < v_0$ ($\sqrt{1/6} < \sqrt{1/3}$), аппарату нужно сообщить тормозной импульс, то есть скорость, направленную против вектора его текущей скорости $v_0$. Модуль этой скорости $\text{v}$ равен:

$v = v_0 - v_1 = \sqrt{\frac{G M_Л}{3R_Л}} - \sqrt{\frac{G M_Л}{6R_Л}}$

$v = \sqrt{\frac{G M_Л}{R_Л}} \left( \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{6}} \right)$

Подставим числовые значения:

$v = \sqrt{\frac{6,674 \cdot 10^{-11} \cdot 7,35 \cdot 10^{22}}{1,737 \cdot 10^6}} \left( \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{6}} \right)$

$v \approx \sqrt{2,824 \cdot 10^6} \cdot (0,577 - 0,408) \approx 1680,5 \cdot 0,169 \approx 284 \text{ м/с}$

Ответ: необходимо сообщить спускаемому аппарату скорость $v = 284 \text{ м/с}$, направленную в сторону, противоположную его движению по орбите.