Номер 15.2, страница 90 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

15.2. Г. Гюйгенс утверждал, что если шар на невесомой и нерастяжимой нити вращается в вертикальной плоскости, то нить должна выдержать силу, равную по крайней мере ушестерённой силе тяжести, действующей на шар. Докажите это утверждение.

Дано:

Шар на невесомой и нерастяжимой нити вращается в вертикальной плоскости.

$\text{m}$ - масса шара

$\text{l}$ - длина нити (радиус вращения)

$F_g = mg$ - сила тяжести, действующая на шар

$\text{g}$ - ускорение свободного падения

Найти:

Доказать, что максимальная сила натяжения нити $T_{max} \ge 6mg$.

Решение:

Рассмотрим движение шара по окружности радиуса $\text{l}$ в вертикальной плоскости. На шар действуют две силы: сила тяжести $\text{mg}$, направленная вертикально вниз, и сила натяжения нити $\text{T}$, направленная вдоль нити к центру окружности.

Запишем второй закон Ньютона для шара в проекции на радиальное направление. Если выбрать ось, направленную к центру окружности, то в произвольной точке, положение которой определяется углом $\alpha$ между нитью и вертикалью, направленной вниз, уравнение будет выглядеть так:

$ma_ц = T - mg \cos \alpha$

Где $a_ц = \frac{v^2}{l}$ — центростремительное ускорение. Отсюда сила натяжения нити:

$T = \frac{mv^2}{l} + mg \cos \alpha$

Сила натяжения нити $\text{T}$ будет максимальной, когда скорость $\text{v}$ максимальна и значение $\cos \alpha$ максимально. Обе эти величины достигают своего максимума в нижней точке траектории, где $\alpha = 0$ и $\cos 0 = 1$. Обозначим скорость в нижней точке как $v_Н$. Тогда максимальная сила натяжения равна:

$T_{max} = T_Н = \frac{mv_Н^2}{l} + mg$ (1)

Для того чтобы шар совершил полный оборот, нить должна оставаться натянутой во всех точках траектории. Наиболее "сложной" в этом плане является верхняя точка, где сила натяжения минимальна. Запишем второй закон Ньютона для верхней точки ($\alpha = 180^\circ$, $\cos 180^\circ = -1$). Обозначим скорость в верхней точке как $v_В$, а натяжение как $T_В$:

$\frac{mv_В^2}{l} = T_В + mg$

$T_В = \frac{mv_В^2}{l} - mg$

Условие, при котором нить не провисает, — это $T_В \ge 0$. Следовательно, минимально необходимая скорость в верхней точке определяется условием:

$\frac{mv_В^2}{l} - mg \ge 0 \implies v_В^2 \ge gl$

Теперь применим закон сохранения механической энергии, чтобы связать скорости в верхней и нижней точках. Примем потенциальную энергию в нижней точке равной нулю. Тогда в верхней точке высота будет $h = 2l$.

$E_Н = E_В$

$\frac{mv_Н^2}{2} = \frac{mv_В^2}{2} + mg(2l)$

Умножим обе части на $\frac{2}{m}$:

$v_Н^2 = v_В^2 + 4gl$ (2)

Теперь подставим выражение (2) для $v_Н^2$ в формулу для максимальной силы натяжения (1):

$T_{max} = \frac{m(v_В^2 + 4gl)}{l} + mg = \frac{mv_В^2}{l} + \frac{m(4gl)}{l} + mg$

$T_{max} = \frac{mv_В^2}{l} + 4mg + mg = \frac{mv_В^2}{l} + 5mg$

Мы уже выяснили, что для совершения полного оборота необходимо выполнение условия $v_В^2 \ge gl$. Используем это неравенство:

$T_{max} = \frac{mv_В^2}{l} + 5mg \ge \frac{m(gl)}{l} + 5mg = mg + 5mg = 6mg$

Таким образом, мы доказали, что $T_{max} \ge 6mg$. Минимальное значение максимального натяжения, равное $6mg$, достигается в предельном случае, когда шар едва совершает полный оборот. Если же шар вращается с большей скоростью, то и максимальное натяжение будет больше $6mg$. Следовательно, нить должна быть способна выдержать силу, как минимум в 6 раз превышающую силу тяжести, действующую на шар.

Ответ: Утверждение Гюйгенса доказано. Максимальная сила натяжения нити при вращении шара в вертикальной плоскости не может быть меньше ушестерённой силы тяжести, действующей на шар.