Номер 1, страница 86 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

ЗАДАЧА 1. Покажите, что при выборе значения потенциальной энергии тяготения на бесконечно большом расстоянии от тела массой $\text{M}$ равным нулю потенциальная энергия тела массой $\text{m}$ в поле тяготения на расстоянии $\text{r}$ от тела массой $\text{M}$ равна $E_p = -G \frac{mM}{r}$.

Решение. Если потенциальная энергия тела $E_p = -G \frac{mM}{r}$, то изменение потенциальной энергии при перемещении тела на расстояние $\Delta r$ (от $r_1 = r$ до $r_2 = r + \Delta r$) равно:

$\Delta E_p = -G \frac{mM}{r} - \left(-G \frac{mM}{r + \Delta r}\right) = GmM \frac{\Delta r}{r(r + \Delta r)}$

Пренебрегая на малом отрезке $\Delta r$ зависимостью силы тяготения $\text{F}$ от расстояния $\text{r}$, из формулы (15.9) получаем $\Delta E_p = F \Delta r$. Отсюда при условии $\Delta r \to 0$ получаем

$F = -\lim_{\Delta r \to 0} \frac{\Delta E_p}{\Delta r} = -G \frac{Mm}{r^2}$.

Это выражение соответствует закону всемирного тяготения; следовательно, наше предположение о виде зависимости потенциальной энергии от расстояния между взаимодействующими телами справедливо.

Дано:

Поле тяготения, создаваемое телом массой $\text{M}$; пробное тело массой $\text{m}$; расстояние между телами $\text{r}$; гравитационная постоянная $\text{G}$; условие нормировки: потенциальная энергия на бесконечно большом расстоянии равна нулю, то есть $E_p(r \to \infty) = 0$.

Доказать:

Потенциальная энергия тела массой $\text{m}$ на расстоянии $\text{r}$ от тела массой $\text{M}$ равна $E_p = -G\frac{mM}{r}$.

Решение:

Потенциальная энергия является характеристикой консервативной силы. Изменение потенциальной энергии $\Delta E_p$ при перемещении тела из начального положения (1) в конечное (2) равно работе $A_{1 \to 2}$, совершаемой консервативной силой (в данном случае, силой тяготения), взятой с обратным знаком:

$\Delta E_p = E_{p2} - E_{p1} = -A_{1 \to 2}$

Работа, совершаемая переменной силой при перемещении тела вдоль некоторой траектории, вычисляется через интеграл. Сила всемирного тяготения, действующая на тело массы $\text{m}$ со стороны тела массы $\text{M}$, направлена к центру тела $\text{M}$. Её модуль равен $F = G\frac{mM}{r^2}$. Если мы перемещаем тело $\text{m}$ от тела $\text{M}$ вдоль радиальной оси, то вектор силы $\vec{F}$ направлен противоположно вектору перемещения $d\vec{r}$.

Вычислим работу силы тяготения при перемещении тела массы $\text{m}$ из точки, находящейся на расстоянии $\text{r}$ от центра тела $\text{M}$, в бесконечно удаленную точку ($r_1 = r$, $r_2 \to \infty$).

$A_{r \to \infty} = \int_{r}^{\infty} \vec{F} \cdot d\vec{r'} = \int_{r}^{\infty} F(r') \cos(180^\circ) dr' = \int_{r}^{\infty} -G\frac{mM}{r'^2} dr'$

Вынесем постоянные множители за знак интеграла:

$A_{r \to \infty} = -GmM \int_{r}^{\infty} \frac{1}{r'^2} dr'$

Первообразная для функции $\frac{1}{r'^2}$ равна $-\frac{1}{r'}$. Вычислим определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:

$A_{r \to \infty} = -GmM \left[ -\frac{1}{r'} \right]_{r}^{\infty} = GmM \left[ \frac{1}{r'} \right]_{r}^{\infty} = GmM \left( \lim_{r' \to \infty} \frac{1}{r'} - \frac{1}{r} \right)$

Поскольку предел $\lim_{r' \to \infty} \frac{1}{r'}$ равен нулю, получаем выражение для работы:

$A_{r \to \infty} = GmM \left( 0 - \frac{1}{r} \right) = -G\frac{mM}{r}$

Теперь вернемся к определению изменения потенциальной энергии:

$\Delta E_p = E_p(\infty) - E_p(r) = -A_{r \to \infty}$

Согласно условию задачи, потенциальная энергия на бесконечности равна нулю: $E_p(\infty) = 0$. Подставим это условие и найденное значение работы в уравнение:

$0 - E_p(r) = - \left( -G\frac{mM}{r} \right)$

$-E_p(r) = G\frac{mM}{r}$

Отсюда окончательно получаем искомую формулу для потенциальной энергии гравитационного взаимодействия на расстоянии $\text{r}$:

$E_p(r) = -G\frac{mM}{r}$

Отрицательный знак указывает на то, что для разделения тел (увеличения расстояния между ними) необходимо совершить положительную работу против сил притяжения. Это означает, что система связанных гравитацией тел находится в "потенциальной яме".

Ответ: Мы показали, что работа силы тяготения при перемещении тела массы $\text{m}$ с расстояния $\text{r}$ на бесконечность равна $A_{r \to \infty} = -G\frac{mM}{r}$. Так как по определению изменение потенциальной энергии $\Delta E_p = E_p(\infty) - E_p(r) = -A_{r \to \infty}$, и по условию нулевой потенциальной энергии на бесконечности $E_p(\infty) = 0$, то $0 - E_p(r) = -(-G\frac{mM}{r})$, что приводит к искомой формуле $E_p(r) = -G\frac{mM}{r}$.