Номер 14.3, страница 78 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

14.3. Человек массой $m_1 = 60 \text{ кг}$ находится на неподвижной круглой платформе ради-усом $R_2 = 10 \text{ м}$ и массой $m_2 = 120 \text{ кг}$, которая может вращаться вокруг своей верти-кальной оси. С какой угловой скоростью будет вращаться платформа, если человек станет двигаться по окружности радиусом $R_1 = 5 \text{ м}$ с линейной скоростью $v_1 = 2 \text{ м/с}$ относительно платформы?

Дано:

Масса человека, $m_1 = 60$ кг
Радиус платформы, $R_2 = 10$ м
Масса платформы, $m_2 = 120$ кг
Радиус движения человека, $R_1 = 5$ м
Линейная скорость человека относительно платформы, $v_1 = 2$ м/с

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Угловую скорость платформы, $\omega_2$.

Решение:

Рассмотрим систему «человек + платформа». Так как внешние моменты сил, действующих на систему, отсутствуют (силы тяжести и реакции опоры скомпенсированы, а трением в оси можно пренебречь), то для данной системы выполняется закон сохранения момента импульса.

Изначально платформа и человек покоятся, поэтому начальный момент импульса системы равен нулю:

$L_{нач} = 0$

Когда человек начинает двигаться, платформа начинает вращаться в противоположную сторону. Согласно закону сохранения момента импульса, суммарный момент импульса системы должен остаться равным нулю:

$L_{кон} = L_1 + L_2 = 0$

где $L_1$ — момент импульса человека, а $L_2$ — момент импульса платформы относительно оси вращения. Из этого следует, что моменты импульса человека и платформы равны по модулю и противоположны по направлению.

$L_1 = -L_2$

Момент импульса платформы, которую можно считать сплошным диском, определяется как $L_2 = I_2 \omega_2$, где $I_2$ — момент инерции платформы, а $\omega_2$ — ее угловая скорость. Момент инерции сплошного диска равен:

$I_2 = \frac{1}{2}m_2 R_2^2$

Вычислим его:

$I_2 = \frac{1}{2} \cdot 120 \, \text{кг} \cdot (10 \, \text{м})^2 = 60 \cdot 100 = 6000 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2$

Момент импульса человека, которого рассматриваем как материальную точку, равен $L_1 = m_1 v_{1,абс} R_1$, где $v_{1,абс}$ — это абсолютная скорость человека (относительно земли). Она равна разности скорости человека относительно платформы ($v_1$) и линейной скорости точки платформы на радиусе $R_1$, которая равна $v_п = \omega_2 R_1$. Так как человек и платформа движутся в противоположные стороны:

$v_{1,абс} = v_1 - \omega_2 R_1$

Тогда момент импульса человека равен:

$L_1 = m_1 (v_1 - \omega_2 R_1) R_1$

Подставим выражения для моментов импульса в закон сохранения. Выберем направление движения человека как положительное. Тогда угловая скорость платформы будет иметь отрицательный знак в векторной записи, но для нахождения модуля скорости $\omega_2$ запишем уравнение в скалярной форме, учитывая противоположные направления:

$|L_1| = |L_2|$

$m_1 (v_1 - \omega_2 R_1) R_1 = I_2 \omega_2$

Решим это уравнение относительно $\omega_2$:

$m_1 v_1 R_1 - m_1 \omega_2 R_1^2 = I_2 \omega_2$

$m_1 v_1 R_1 = I_2 \omega_2 + m_1 R_1^2 \omega_2$

$m_1 v_1 R_1 = \omega_2 (I_2 + m_1 R_1^2)$

$\omega_2 = \frac{m_1 v_1 R_1}{I_2 + m_1 R_1^2}$

Подставим числовые значения. Величина $m_1 R_1^2$ представляет собой момент инерции человека относительно оси вращения:

$m_1 R_1^2 = 60 \, \text{кг} \cdot (5 \, \text{м})^2 = 60 \cdot 25 = 1500 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2$

Теперь вычислим угловую скорость:

$\omega_2 = \frac{60 \, \text{кг} \cdot 2 \, \text{м/с} \cdot 5 \, \text{м}}{6000 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2 + 1500 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2} = \frac{600}{7500} \, \frac{\text{рад}}{\text{с}} = \frac{6}{75} \, \frac{\text{рад}}{\text{с}} = \frac{2}{25} \, \frac{\text{рад}}{\text{с}} = 0.08 \, \frac{\text{рад}}{\text{с}}$

Ответ: платформа будет вращаться с угловой скоростью $0.08$ рад/с в сторону, противоположную движению человека.