Номер 14.2, страница 78 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

14.2. Человек стоит на вращающейся с некоторой угловой скоростью платформе. В вытянутых в стороны руках он держит по гире, масса каждой из них $m = 5 \text{ кг}$. Расстояние от гирь до оси вращения $R_1 = 0,71 \text{ м}$. Во сколько раз изменится частота вращения человека, если он прижмёт руки к туловищу так, что расстояние от оси вращения до гирь станет $R_2 = 0,2 \text{ м}$? Момент инерции человека считайте в обоих случаях равным $I = 1 \text{ кг} \cdot \text{м}^2$.

Дано:

Масса каждой гири, $m = 5$ кг
Начальное расстояние от гирь до оси вращения, $R_1 = 0,71$ м
Конечное расстояние от гирь до оси вращения, $R_2 = 0,2$ м
Момент инерции человека, $I = 1$ кг·м²

Найти:

Во сколько раз изменится частота вращения, то есть найти отношение $\frac{\nu_2}{\nu_1}$.

Решение:

Система «человек + гири» является замкнутой, так как внешние силы (сила тяжести и сила реакции опоры) скомпенсированы, а силы, изменяющие положение рук, являются внутренними. Для замкнутой системы справедлив закон сохранения момента импульса: суммарный момент импульса системы до изменения равен суммарному моменту импульса после изменения.

$L_1 = L_2$

Момент импульса $\text{L}$ тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, определяется как произведение момента инерции тела $I_{total}$ на его угловую скорость $\omega$:

$L = I_{total} \cdot \omega$

Следовательно, можно записать:

$I_{total1} \cdot \omega_1 = I_{total2} \cdot \omega_2$

Угловая скорость $\omega$ связана с частотой вращения $\nu$ соотношением $\omega = 2\pi\nu$. Подставим это в уравнение:

$I_{total1} \cdot 2\pi\nu_1 = I_{total2} \cdot 2\pi\nu_2$

Сократив $2\pi$, получим:

$I_{total1} \cdot \nu_1 = I_{total2} \cdot \nu_2$

Отсюда найдем искомое отношение частот:

$\frac{\nu_2}{\nu_1} = \frac{I_{total1}}{I_{total2}}$

Полный момент инерции системы равен сумме момента инерции человека $\text{I}$ и моментов инерции двух гирь. Гири можно считать материальными точками, момент инерции каждой из которых равен $mR^2$.

Начальный момент инерции системы (руки вытянуты):

$I_{total1} = I + 2mR_1^2$

Конечный момент инерции системы (руки прижаты):

$I_{total2} = I + 2mR_2^2$

Подставим числовые значения для вычисления моментов инерции:

$I_{total1} = 1 + 2 \cdot 5 \cdot (0,71)^2 = 1 + 10 \cdot 0,5041 = 1 + 5,041 = 6,041$ кг·м²

$I_{total2} = 1 + 2 \cdot 5 \cdot (0,2)^2 = 1 + 10 \cdot 0,04 = 1 + 0,4 = 1,4$ кг·м²

Теперь найдем отношение частот:

$\frac{\nu_2}{\nu_1} = \frac{6,041}{1,4} \approx 4,315$

Ответ: Частота вращения увеличится примерно в 4,3 раза.