Номер 14.1, страница 78 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

РЕШИТЕ

14.1. Комета Галлея движется вокруг Солнца по вытянутому эллипсу, причём наибольшее удаление кометы от Солнца равно 35,2 а. е., а наименьшее удаление от Солнца — 0,6 а. е. (1 а. е. — астрономическая единица длины, равная расстоянию от Земли до Солнца; 1 а. е. = $1.5 \cdot 10^{11}$ м). Определите отношение максимальной скорости кометы к минимальной.

Дано:

Наибольшее удаление кометы от Солнца (афелий): $r_{max} = 35,2 \text{ а.е.}$

Наименьшее удаление кометы от Солнца (перигелий): $r_{min} = 0,6 \text{ а.е.}$

Астрономическая единица: $1 \text{ а.е.} = 1,5 \cdot 10^{11} \text{ м}$

Перевод в СИ:

$r_{max} = 35,2 \text{ а.е.} = 35,2 \cdot 1,5 \cdot 10^{11} \text{ м} = 52,8 \cdot 10^{11} \text{ м} = 5,28 \cdot 10^{12} \text{ м}$

$r_{min} = 0,6 \text{ а.е.} = 0,6 \cdot 1,5 \cdot 10^{11} \text{ м} = 0,9 \cdot 10^{11} \text{ м} = 9 \cdot 10^{10} \text{ м}$

Найти:

Отношение максимальной скорости кометы к минимальной: $\frac{v_{max}}{v_{min}}$

Решение:

Движение кометы вокруг Солнца происходит под действием центральной силы — силы гравитационного притяжения. В системе, где действуют только центральные силы, сохраняется момент импульса. Таким образом, момент импульса кометы относительно Солнца остается постоянным на всей траектории ее движения.

Момент импульса $\vec{L}$ материальной точки определяется как векторное произведение радиус-вектора $\vec{r}$ (проведенного от центра силы, в данном случае — от Солнца) и импульса кометы $\vec{p} = m\vec{v}$:

$\vec{L} = [\vec{r} \times \vec{p}] = \text{const}$

Величина (модуль) момента импульса равна $L = r \cdot m \cdot v \cdot \sin\alpha$, где $\text{m}$ — масса кометы, $\text{v}$ — ее скорость, а $\alpha$ — угол между векторами радиус-вектора $\vec{r}$ и скорости $\vec{v}$.

Скорость кометы максимальна ($v_{max}$) в точке орбиты, ближайшей к Солнцу — в перигелии. В этой точке расстояние до Солнца минимально ($r_{min}$).

Скорость кометы минимальна ($v_{min}$) в наиболее удаленной от Солнца точке орбиты — в афелии. В этой точке расстояние до Солнца максимально ($r_{max}$).

В точках афелия и перигелия вектор скорости кометы перпендикулярен радиус-вектору, проведенному от Солнца. Следовательно, угол $\alpha = 90^\circ$, и $\sin\alpha = 1$.

Запишем выражения для момента импульса в перигелии ($L_{п}$) и афелии ($L_{а}$):

$L_{п} = r_{min} \cdot m \cdot v_{max}$

$L_{а} = r_{max} \cdot m \cdot v_{min}$

Согласно закону сохранения момента импульса, $L_{п} = L_{а}$:

$r_{min} \cdot m \cdot v_{max} = r_{max} \cdot m \cdot v_{min}$

Масса кометы $\text{m}$ в обеих частях уравнения сокращается:

$r_{min} \cdot v_{max} = r_{max} \cdot v_{min}$

Из этого соотношения выразим искомое отношение скоростей $\frac{v_{max}}{v_{min}}$:

$\frac{v_{max}}{v_{min}} = \frac{r_{max}}{r_{min}}$

Подставим числовые значения из условия задачи. Для нахождения отношения не требуется переводить расстояния в систему СИ, так как единицы измерения (астрономические единицы) сокращаются.

$\frac{v_{max}}{v_{min}} = \frac{35,2 \text{ а.е.}}{0,6 \text{ а.е.}} = \frac{35,2}{0,6} = \frac{352}{6} = \frac{176}{3} \approx 58,667$

Округляя результат до трех значащих цифр, получаем:

$\frac{v_{max}}{v_{min}} \approx 58,7$

Ответ: отношение максимальной скорости кометы к минимальной равно приблизительно 58,7.