Номер 13.4, страница 76 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

13.4. На одном конце неподвижной длинной тележки массой $m_1 = 25 \text{ кг}$ стоит мальчик массой $m_2 = 50 \text{ кг}$. С какой скоростью будет двигаться тележка, если он побежит со скоростью $v = 3 \text{ м/с}$ относительно тележки?

13.4. Дано:

Масса тележки, $m_1 = 25$ кг

Масса мальчика, $m_2 = 50$ кг

Скорость мальчика относительно тележки, $v = 3$ м/с

Все величины даны в системе СИ.

Найти:

Скорость тележки относительно земли, $u_1 - ?$

Решение:

Рассмотрим систему, состоящую из мальчика и тележки. Так как в горизонтальном направлении на систему не действуют внешние силы (или их сумма равна нулю), для данной системы в проекции на горизонтальную ось выполняется закон сохранения импульса. Изначально система покоилась, поэтому её начальный импульс равен нулю.

$\vec{P}_{начальный} = 0$

Пусть $\vec{u}_1$ — скорость тележки относительно земли, а $\vec{u}_2$ — скорость мальчика относительно земли после начала движения. Согласно закону сохранения импульса, суммарный импульс системы в конечный момент времени также должен быть равен нулю:

$m_1\vec{u}_1 + m_2\vec{u}_2 = 0$

Скорость мальчика относительно земли ($\vec{u}_2$) является векторной суммой его скорости относительно тележки ($\vec{v}$) и скорости самой тележки относительно земли ($\vec{u}_1$). Это следует из закона сложения скоростей:

$\vec{u}_2 = \vec{u}_1 + \vec{v}$

Подставим это выражение в уравнение закона сохранения импульса:

$m_1\vec{u}_1 + m_2(\vec{u}_1 + \vec{v}) = 0$

Раскроем скобки и выразим искомую скорость тележки $\vec{u}_1$:

$m_1\vec{u}_1 + m_2\vec{u}_1 + m_2\vec{v} = 0$

$(m_1 + m_2)\vec{u}_1 = -m_2\vec{v}$

$\vec{u}_1 = -\frac{m_2}{m_1 + m_2}\vec{v}$

Знак «минус» в полученной формуле указывает на то, что тележка будет двигаться в направлении, противоположном направлению движения мальчика относительно тележки. Для нахождения численного значения скорости найдем модуль вектора $\vec{u}_1$:

$u_1 = |\vec{u}_1| = \frac{m_2}{m_1 + m_2}v$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$u_1 = \frac{50 \text{ кг}}{25 \text{ кг} + 50 \text{ кг}} \cdot 3 \text{ м/с} = \frac{50}{75} \cdot 3 \text{ м/с} = \frac{2}{3} \cdot 3 \text{ м/с} = 2 \text{ м/с}$

Ответ: скорость тележки будет равна 2 м/с, а её направление будет противоположно направлению бега мальчика.