Номер 13.3, страница 76 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

13.3. Снаряд разорвался на два осколка одинаковой массы. Скорости осколков равны по модулю $v_1 = 300$ м/с и $v_2 = 400$ м/с и направлены перпендикулярно друг другу. Определите скорость снаряда до разрыва.

Дано:

Масса первого осколка: $m_1$

Масса второго осколка: $m_2$

Соотношение масс: $m_1 = m_2 = m$

Скорость первого осколка: $v_1 = 300$ м/с

Скорость второго осколка: $v_2 = 400$ м/с

Угол между скоростями осколков: $\alpha = 90^\circ$ (векторы скоростей перпендикулярны)

Найти:

Скорость снаряда до разрыва: $\text{V}$

Решение:

Рассматриваем систему, состоящую из снаряда (до разрыва) и его осколков (после разрыва). Разрыв снаряда происходит за счет внутренних сил. Внешними силами (например, силой тяжести) за короткое время разрыва можно пренебречь. Следовательно, для данной системы выполняется закон сохранения импульса.

Запишем закон сохранения импульса в векторной форме:

$\vec{P}_{до} = \vec{P}_{после}$

Импульс системы до разрыва равен импульсу снаряда:

$\vec{P}_{до} = M \vec{V}$

где $\text{M}$ – масса снаряда, а $\vec{V}$ – его скорость. Масса снаряда равна сумме масс осколков: $M = m_1 + m_2 = m + m = 2m$.

$\vec{P}_{до} = 2m \vec{V}$

Импульс системы после разрыва равен векторной сумме импульсов двух осколков:

$\vec{P}_{после} = \vec{p_1} + \vec{p_2} = m_1 \vec{v_1} + m_2 \vec{v_2}$

Подставляя массы осколков $m_1 = m_2 = m$, получаем:

$\vec{P}_{после} = m \vec{v_1} + m \vec{v_2}$

Приравниваем импульсы до и после разрыва:

$2m \vec{V} = m \vec{v_1} + m \vec{v_2}$

Можно сократить массу $\text{m}$ (так как $m \neq 0$):

$2\vec{V} = \vec{v_1} + \vec{v_2}$

Отсюда выразим вектор скорости снаряда до разрыва:

$\vec{V} = \frac{\vec{v_1} + \vec{v_2}}{2}$

Чтобы найти модуль скорости $\text{V}$, нам нужно найти модуль векторной суммы $\vec{v_1} + \vec{v_2}$. По условию задачи, скорости осколков направлены перпендикулярно друг другу, то есть угол между векторами $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$ составляет $90^\circ$. В этом случае модуль их суммы можно найти по теореме Пифагора:

$|\vec{v_1} + \vec{v_2}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}$

Теперь найдем модуль скорости $\text{V}$:

$V = |\vec{V}| = \frac{|\vec{v_1} + \vec{v_2}|}{2} = \frac{\sqrt{v_1^2 + v_2^2}}{2}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$V = \frac{\sqrt{(300)^2 + (400)^2}}{2}$

$V = \frac{\sqrt{90000 + 160000}}{2}$

$V = \frac{\sqrt{250000}}{2}$

$V = \frac{500}{2} = 250$ (м/с)

Ответ: 250 м/с.