Номер 13.1, страница 76 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

РЕШИТЕ

13.1. Определите ускорение ракеты массой $m = 10^6$ кг через 1 мин после старта при секундном расходе топлива $\mu = 7,5 \cdot 10^3$ кг/с. Скорость истечения газов относительно ракеты постоянна и равна $u = 2 \cdot 10^3$ м/с. Ракета движется вертикально вверх.

Дано:

Начальная масса ракеты $m_0 = 10^6$ кг

Время после старта $t = 1$ мин

Секундный расход топлива $\mu = 7,5 \cdot 10^3$ кг/с

Скорость истечения газов $u = 2 \cdot 10^3$ м/с

Перевод в систему СИ:

$t = 1 \text{ мин} = 60 \text{ с}$

Найти:

$\text{a}$ — ?

Решение:

Ускорение ракеты определяется вторым законом Ньютона для тела с переменной массой. На ракету, движущуюся вертикально вверх, действуют две силы: сила тяги $F_{тяги}$, направленная вверх, и сила тяжести $F_{тяж}$, направленная вниз. Уравнение движения в проекции на вертикальную ось, направленную вверх, имеет вид:

$M(t) \cdot a = F_{тяги} - F_{тяж}$

где $M(t)$ – масса ракеты в момент времени $\text{t}$, $\text{a}$ – искомое ускорение.

Сила тяги создается за счет выброса продуктов сгорания топлива и вычисляется по формуле:

$F_{тяги} = \mu \cdot u$

Сила тяжести, действующая на ракету в момент времени $\text{t}$:

$F_{тяж} = M(t) \cdot g$

где $\text{g}$ – ускорение свободного падения, принимаем $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$.

Подставим выражения для сил в уравнение движения:

$M(t) \cdot a = \mu \cdot u - M(t) \cdot g$

Отсюда выражаем ускорение $\text{a}$:

$a = \frac{\mu \cdot u}{M(t)} - g$

Масса ракеты со временем уменьшается, так как топливо расходуется. Масса ракеты в момент времени $\text{t}$ равна начальной массе $m_0$ за вычетом массы сгоревшего топлива $\mu \cdot t$:

$M(t) = m_0 - \mu \cdot t$

Найдем массу ракеты через 1 минуту (60 секунд) после старта:

$M(60 \text{ с}) = 10^6 \text{ кг} - (7,5 \cdot 10^3 \text{ кг/с}) \cdot 60 \text{ с} = 10^6 - 450 \cdot 10^3 = 1000 \cdot 10^3 - 450 \cdot 10^3 = 550 \cdot 10^3 \text{ кг} = 5,5 \cdot 10^5 \text{ кг}$

Теперь, зная массу ракеты в нужный момент времени, можем рассчитать ее ускорение:

$a = \frac{(7,5 \cdot 10^3 \text{ кг/с}) \cdot (2 \cdot 10^3 \text{ м/с})}{5,5 \cdot 10^5 \text{ кг}} - 9,8 \text{ м/с}^2$

$a = \frac{15 \cdot 10^6}{5,5 \cdot 10^5} \text{ м/с}^2 - 9,8 \text{ м/с}^2$

$a = \frac{150}{5,5} \text{ м/с}^2 - 9,8 \text{ м/с}^2$

$a \approx 27,27 \text{ м/с}^2 - 9,8 \text{ м/с}^2 \approx 17,47 \text{ м/с}^2$

Округлим результат до десятых.

$a \approx 17,5 \text{ м/с}^2$

Ответ: ускорение ракеты через 1 минуту после старта составляет примерно $17,5 \text{ м/с}^2$.