Номер 2, страница 72 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

2. Продемонстрируйте одноклассникам опыт, который называется «Непослушная катушка». Возьмите катушку с нитками, положите её на горизонтальную поверхность так, чтобы нить проходила горизонтально снизу, и потяните за нить. Обратите внимание, куда покатилась катушка.

Измените угол наклона нити относительно горизонта, увеличив его примерно на 10–15°, и вновь потяните за нить. Далее, увеличивая угол каждый раз на 10–15°, установите, при каком угле наклона нити катушка изменяет направление движения. Дайте объяснение наблюдаемому явлению и представьте теоретическое доказательство.

При проведении опыта «Непослушная катушка» наблюдаются следующие явления:

1. Когда нить тянут горизонтально (угол наклона $\alpha \approx 0^\circ$), катушка катится вперёд, в направлении, куда тянут нить.

2. При постепенном увеличении угла наклона нити $\alpha$ катушка продолжает катиться вперёд, но, возможно, с меньшей скоростью.

3. При достижении некоторого критического угла $\alpha_0$ поведение катушки резко меняется. Если продолжать увеличивать угол так, что $\alpha > \alpha_0$, катушка начинает катиться назад, в направлении, противоположном тому, куда тянут нить.

Объяснение наблюдаемому явлению

Направление движения катушки (качение вперёд или назад) определяется направлением вращения, которое, в свою очередь, зависит от суммарного момента сил (крутящего момента) относительно точки мгновенной оси вращения. При качении без проскальзывания такой осью является точка касания катушки с горизонтальной поверхностью (обозначим её P).

На катушку действуют сила тяжести, сила нормальной реакции опоры, сила трения и сила натяжения нити $\vec{T}$. Сила тяжести и сила нормальной реакции скомпенсированы (по вертикали), а их линии действия проходят через центр масс, который находится на одной вертикали с точкой P. Сила трения приложена в точке P. Таким образом, моменты этих трёх сил относительно точки P равны нулю. Следовательно, направление вращения катушки определяется исключительно моментом, создаваемым силой натяжения нити $\vec{T}$ относительно точки P.

Если линия действия силы $\vec{T}$ проходит так, что создаётся крутящий момент, вращающий катушку по часовой стрелке (если тянуть вправо), катушка покатится вправо (вперёд). Если же создаётся момент, вращающий катушку против часовой стрелки, она покатится влево (назад). Смена направления движения происходит при таком угле $\alpha_0$, когда момент силы натяжения относительно точки P равен нулю. Это означает, что линия действия силы $\vec{T}$ проходит точно через точку P.

Теоретическое доказательство

Дано:

$\text{R}$ – внешний радиус катушки (радиус её боковых дисков).

$\text{r}$ – внутренний радиус катушки (радиус цилиндра, на который намотана нить).

$\alpha$ – угол наклона нити к горизонту.

Найти:

$\alpha_0$ – критический угол, при котором катушка меняет направление движения.

Решение:

Как было установлено, смена направления движения произойдёт при таком угле $\alpha_0$, при котором линия действия силы натяжения $\vec{T}$ пройдёт через точку касания катушки с поверхностью P. Сила натяжения $\vec{T}$ всегда направлена по касательной к внутренней части катушки радиуса $\text{r}$.

Рассмотрим сечение катушки в момент, когда линия действия силы натяжения проходит через точку P. Пусть O – центр катушки, A – точка, в которой нить отрывается от катушки (точка касания нити и внутреннего цилиндра). В этом случае линия действия силы $\vec{T}$ совпадает с прямой PA.

Поскольку линия PA является касательной к внутреннему цилиндру в точке A, радиус OA (длиной $\text{r}$) перпендикулярен этой касательной PA. Таким образом, треугольник OAP является прямоугольным с прямым углом при вершине A.

В этом треугольнике:

• Гипотенуза OP – это внешний радиус катушки, её длина равна $\text{R}$.
• Катет OA – это внутренний радиус катушки, его длина равна $\text{r}$.

Угол $\alpha_0$ – это угол между линией действия силы (прямая PA) и горизонталью. Линия OP (радиус, проведённый в точку касания с поверхностью) вертикальна. Угол между вертикальной линией OP и наклонной линией PA обозначим как $\beta = \angle OPA$. Тогда, поскольку горизонталь и вертикаль перпендикулярны, имеем соотношение:

$\alpha_0 + \beta = 90^\circ$ или $\alpha_0 = 90^\circ - \beta$

Из прямоугольного треугольника OAP найдём синус угла $\beta$:

$\sin\beta = \frac{OA}{OP} = \frac{r}{R}$

Теперь выразим косинус критического угла $\alpha_0$ через $\beta$:

$\cos\alpha_0 = \cos(90^\circ - \beta) = \sin\beta$

Подставив найденное значение $\sin\beta$, получим:

$\cos\alpha_0 = \frac{r}{R}$

Отсюда критический угол равен:

$\alpha_0 = \arccos\left(\frac{r}{R}\right)$

Выводы:

1. Если тянуть нить под углом $\alpha < \alpha_0 = \arccos(r/R)$, то $\cos\alpha > r/R$. Момент силы натяжения относительно точки P будет заставлять катушку катиться вперёд.

2. Если тянуть нить под углом $\alpha > \alpha_0 = \arccos(r/R)$, то $\cos\alpha < r/R$. Момент силы натяжения изменит знак, и катушка будет катиться назад.

3. Если тянуть нить точно под углом $\alpha = \alpha_0$, момент силы натяжения относительно точки P равен нулю. Катушка не будет вращаться, а будет скользить по поверхности (если сила натяжения превысит силу трения покоя).

Ответ: Катушка изменяет направление движения при критическом угле наклона нити $\alpha_0$, который зависит от соотношения внутреннего ($\text{r}$) и внешнего ($\text{R}$) радиусов катушки и определяется формулой $\alpha_0 = \arccos(r/R)$. При углах, меньших критического, катушка катится вперёд, а при углах, больших критического, — назад.