Номер 12.3, страница 72 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

12.3. Лестница массой $\text{m}$ прислонена к стене. Чему равен минимальный угол $\varphi$ между лестницей и полом, при котором лестница ещё находится в равновесии, если коэффициент трения между лестницей и стенкой равен $\mu_1$, а между лестницей и полом равен $\mu_2$? Определите силы реакции опоры и силы трения между лестницей, полом и стенкой.

Дано:

Масса лестницы: $\text{m}$

Коэффициент трения между лестницей и стенкой: $\mu_1$

Коэффициент трения между лестницей и полом: $\mu_2$

Найти:

Минимальный угол равновесия: $\phi_{min}$

Силы реакции опоры: $N_1$ (стена), $N_2$ (пол)

Силы трения: $F_{тр1}$ (стена), $F_{тр2}$ (пол)

Решение:

На лестницу действуют следующие силы:

1. Сила тяжести $\text{mg}$, приложенная к центру масс лестницы (середине, так как лестница однородна).

2. Сила реакции опоры со стороны стенки $N_1$, направленная перпендикулярно стене (горизонтально).

3. Сила трения о стенку $F_{тр1}$, направленная вертикально вверх, так как лестница стремится соскользнуть вниз.

4. Сила реакции опоры со стороны пола $N_2$, направленная перпендикулярно полу (вертикально вверх).

5. Сила трения о пол $F_{тр2}$, направленная горизонтально к стене, так как нижний конец лестницы стремится отъехать от стены.

Условие минимального угла $\phi$ соответствует состоянию, когда лестница находится на грани соскальзывания. В этом случае обе силы трения достигают своих максимальных значений (силы трения покоя):

$F_{тр1} = \mu_1 N_1$

$F_{тр2} = \mu_2 N_2$

Для равновесия тела необходимо, чтобы сумма всех сил и сумма моментов всех сил относительно любой точки были равны нулю.

Запишем уравнения равновесия в проекциях на оси координат (ось X горизонтальна, ось Y вертикальна):

$\sum F_x = N_1 - F_{тр2} = 0 \implies N_1 = F_{тр2}$

$\sum F_y = N_2 + F_{тр1} - mg = 0 \implies N_2 + F_{тр1} = mg$

Запишем уравнение моментов сил относительно точки касания лестницы с полом (точка O). Это удобно, так как моменты сил $N_2$ и $F_{тр2}$ будут равны нулю. Пусть длина лестницы равна $\text{L}$.

$\sum M_O = N_1 \cdot (L \sin\phi) + F_{тр1} \cdot (L \cos\phi) - mg \cdot (\frac{L}{2} \cos\phi) = 0$

Сократив на $\text{L}$, получим:

$N_1 \sin\phi + F_{тр1} \cos\phi = \frac{mg}{2} \cos\phi$

Теперь решим систему уравнений с учетом выражений для сил трения.

Из уравнений для сил:

$N_1 = \mu_2 N_2$

$N_2 + \mu_1 N_1 = mg$

Подставим первое во второе:

$N_2 + \mu_1 (\mu_2 N_2) = mg \implies N_2(1 + \mu_1 \mu_2) = mg$

Отсюда находим силы реакции опоры:

$N_2 = \frac{mg}{1 + \mu_1 \mu_2}$

$N_1 = \mu_2 N_2 = \frac{\mu_2 mg}{1 + \mu_1 \mu_2}$

Теперь находим силы трения:

$F_{тр1} = \mu_1 N_1 = \frac{\mu_1 \mu_2 mg}{1 + \mu_1 \mu_2}$

$F_{тр2} = \mu_2 N_2 = \frac{\mu_2 mg}{1 + \mu_1 \mu_2}$

Для нахождения угла $\phi_{min}$ подставим выражения для $N_1$ и $F_{тр1}$ в уравнение моментов:

$\left(\frac{\mu_2 mg}{1 + \mu_1 \mu_2}\right) \sin\phi + \left(\frac{\mu_1 \mu_2 mg}{1 + \mu_1 \mu_2}\right) \cos\phi = \frac{mg}{2} \cos\phi$

Сократим обе части на $\text{mg}$:

$\frac{\mu_2}{1 + \mu_1 \mu_2} \sin\phi + \frac{\mu_1 \mu_2}{1 + \mu_1 \mu_2} \cos\phi = \frac{1}{2} \cos\phi$

Умножим обе части на $2(1 + \mu_1 \mu_2)$:

$2\mu_2 \sin\phi + 2\mu_1 \mu_2 \cos\phi = (1 + \mu_1 \mu_2) \cos\phi$

Перегруппируем члены:

$2\mu_2 \sin\phi = (1 + \mu_1 \mu_2 - 2\mu_1 \mu_2) \cos\phi$

$2\mu_2 \sin\phi = (1 - \mu_1 \mu_2) \cos\phi$

Отсюда находим тангенс угла:

$\tan\phi = \frac{\sin\phi}{\cos\phi} = \frac{1 - \mu_1 \mu_2}{2\mu_2}$

Ответ:

Минимальный угол, при котором лестница ещё находится в равновесии, определяется выражением: $\phi_{min} = \arctan\left(\frac{1 - \mu_1 \mu_2}{2\mu_2}\right)$.

Силы реакции опоры и силы трения при этом угле равны:

- Сила реакции опоры стенки: $N_1 = \frac{\mu_2 mg}{1 + \mu_1 \mu_2}$

- Сила реакции опоры пола: $N_2 = \frac{mg}{1 + \mu_1 \mu_2}$

- Сила трения о стенку: $F_{тр1} = \frac{\mu_1 \mu_2 mg}{1 + \mu_1 \mu_2}$

- Сила трения о пол: $F_{тр2} = \frac{\mu_2 mg}{1 + \mu_1 \mu_2}$