Номер 2, страница 71 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

ЗАДАЧА 2. Балка длиной $\text{l}$ и массой 120 кг висит на трёх шнурах одинаковой жёсткости (как показано на рисунке 1.37, а). Центр масс балки отстоит от первого шнура на расстоянии $l/4$. Определите силы натяжения шнуров.

На балку действуют сила тяжести $\text{mg}$ и силы натяжения нитей №1, №2, №3 (рис. 1.37, а). Поскольку все эти силы параллельны, уравнений равновесия только два:

$N_1 + N_2 + N_3 - mg = 0$ (1)

и

$N_2 \frac{l}{2} + N_3 l - mg \frac{l}{4} = 0$ (2)

(относительно оси, проходящей через левый конец балки).

Так как общее число сил реакции больше числа уравнений, содержащих эти силы, то данная система является статически неопределимой. В этом случае модель абсолютно твёрдого тела оказывается непригодной и при решении задачи необходимо учитывать деформацию тел, применив закон Гука.

Обозначив растяжения шнуров $\Delta l_1, \Delta l_2, \Delta l_3$ и используя закон Гука, получим

$N_1 = k\Delta l_1,$ $N_2 = k\Delta l_2,$ $N_3 = k\Delta l_3.$ (3)

Из подобия трапеций (рис. 1.37, б) получим третье условие равновесия:

$\frac{\Delta l_1 - \Delta l_3}{\Delta l_2 - \Delta l_3} = \frac{l}{l/2} = 2.$ (4)

Из выражений (3) и (4) следует:

$N_1 + N_3 = 2N_2.$ (5)

Решая уравнения (1) — (5), получаем

$N_1 = \frac{7}{12}mg = 700 \text{ H},$ $N_2 = \frac{mg}{3} = 400 \text{ H},$ $N_3 = \frac{mg}{12} = 100 \text{ H}.$

Дано:

Масса балки, $m = 120$ кг.

Расстояние от первого шнура до центра масс, $x_{cm} = l/4$.

Расстояние между шнурами 1 и 2, $d_{12} = l/2$.

Расстояние между шнурами 2 и 3, $d_{23} = l/2$.

Шнуры имеют одинаковую жесткость, $\text{k}$.

Ускорение свободного падения, $g \approx 10$ м/с² (для получения целых числовых значений, как в исходном решении).

Найти:

Силы натяжения шнуров $N_1$, $N_2$, $N_3$.

Решение:

На балку в равновесии действуют сила тяжести $\text{mg}$, приложенная к центру масс балки, и три силы натяжения шнуров $N_1$, $N_2$, $N_3$, направленные вертикально вверх. Для решения задачи используем условия равновесия твердого тела.

1. Первое условие равновесия: векторная сумма всех действующих на тело сил равна нулю. В проекции на вертикальную ось $\text{Y}$ (направленную вверх) уравнение примет вид:

$N_1 + N_2 + N_3 - mg = 0$ (1)

2. Второе условие равновесия: сумма моментов всех сил относительно любой оси равна нулю. Выберем ось, проходящую через точку крепления первого шнура перпендикулярно плоскости рисунка. Момент силы $N_1$ относительно этой оси равен нулю. Моменты сил $N_2$ и $N_3$ создают вращение против часовой стрелки (примем их за положительные), а момент силы тяжести $\text{mg}$ — по часовой стрелке (отрицательный).

Плечи сил относительно выбранной оси:

• плечо силы $N_2$ равно $l/2$;
• плечо силы $N_3$ равно $l/2 + l/2 = l$;
• плечо силы тяжести $\text{mg}$ равно $l/4$.

Запишем уравнение моментов:

$N_2 \cdot \frac{l}{2} + N_3 \cdot l - mg \cdot \frac{l}{4} = 0$

Сократим уравнение на $\text{l}$ (поскольку $l \neq 0$):

$\frac{N_2}{2} + N_3 = \frac{mg}{4}$ (2)

Мы получили систему из двух уравнений (1) и (2) с тремя неизвестными ($N_1$, $N_2$, $N_3$). Это означает, что задача является статически неопределимой в рамках модели абсолютно твердого тела. Чтобы найти решение, необходимо учесть деформации шнуров.

Поскольку шнуры имеют одинаковую жесткость $\text{k}$, согласно закону Гука, силы натяжения $\text{N}$ пропорциональны их абсолютным удлинениям $\Delta l$:

$N_1 = k \Delta l_1$, $N_2 = k \Delta l_2$, $N_3 = k \Delta l_3$.

Отсюда можно выразить удлинения: $\Delta l_1 = N_1/k$, $\Delta l_2 = N_2/k$, $\Delta l_3 = N_3/k$.

Так как балка остается прямой (не изгибается), точки ее крепления к растянувшимся шнурам будут лежать на одной прямой линии. Это означает, что удлинения шнуров изменяются линейно в зависимости от их положения. Шнур 2 находится посередине между шнурами 1 и 3. Следовательно, его удлинение будет равно среднему арифметическому удлинений крайних шнуров (свойство трапеции, см. рис. 1.37, б):

$\Delta l_2 = \frac{\Delta l_1 + \Delta l_3}{2}$

Подставим в это соотношение выражения для удлинений через силы натяжения:

$\frac{N_2}{k} = \frac{N_1/k + N_3/k}{2}$

Сократив на $\text{k}$, получим третье недостающее уравнение:

$2N_2 = N_1 + N_3$ (3)

Теперь решим систему из трех линейных уравнений (1), (2) и (3).

Подставим выражение (3) в уравнение (1):

$(N_1 + N_3) + N_2 = mg \implies 2N_2 + N_2 = mg \implies 3N_2 = mg$

$N_2 = \frac{mg}{3}$

Подставим найденное значение $N_2$ в уравнение (2):

$\frac{1}{2} \left(\frac{mg}{3}\right) + N_3 = \frac{mg}{4}$

$\frac{mg}{6} + N_3 = \frac{mg}{4}$

$N_3 = \frac{mg}{4} - \frac{mg}{6} = \frac{3mg - 2mg}{12} = \frac{mg}{12}$

Теперь из уравнения (3) найдем $N_1$:

$N_1 = 2N_2 - N_3 = 2\left(\frac{mg}{3}\right) - \frac{mg}{12} = \frac{2mg}{3} - \frac{mg}{12} = \frac{8mg - mg}{12} = \frac{7mg}{12}$

Вычислим численные значения сил. Сила тяжести, действующая на балку: $mg = 120 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 = 1200 \text{ Н}$.

$N_1 = \frac{7}{12} mg = \frac{7}{12} \cdot 1200 \text{ Н} = 7 \cdot 100 \text{ Н} = 700 \text{ Н}$

$N_2 = \frac{1}{3} mg = \frac{1}{3} \cdot 1200 \text{ Н} = 400 \text{ Н}$

$N_3 = \frac{1}{12} mg = \frac{1}{12} \cdot 1200 \text{ Н} = 100 \text{ Н}$

Проверка: $N_1 + N_2 + N_3 = 700 + 400 + 100 = 1200 \text{ Н}$, что равно $\text{mg}$. Условия равновесия соблюдены.

Ответ: Силы натяжения шнуров равны $N_1 = 700$ Н, $N_2 = 400$ Н, $N_3 = 100$ Н.