Номер 3, страница 70 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

3. Как можно определить координаты, центра тяжести тела?

3. Как можно определить координаты, центра тяжести тела?

Координаты центра тяжести тела можно определить аналитически (расчетом) или экспериментально. Аналитический метод зависит от того, является ли тело системой дискретных материальных точек или сплошным телом.

В однородном поле тяжести, где ускорение свободного падения $\text{g}$ постоянно для всех частей тела, центр тяжести совпадает с центром масс. В этом наиболее распространенном случае координаты центра тяжести ($x_{цт}$, $y_{цт}$, $z_{цт}$) для системы из $\text{n}$ материальных точек с массами $m_1, m_2, ..., m_n$ и координатами $(x_1, y_1, z_1), (x_2, y_2, z_2), ..., (x_n, y_n, z_n)$ вычисляются по формулам:

$x_{цт} = \frac{\sum_{i=1}^{n} m_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} m_i} = \frac{m_1x_1 + m_2x_2 + ... + m_nx_n}{m_1 + m_2 + ... + m_n}$

$y_{цт} = \frac{\sum_{i=1}^{n} m_i y_i}{\sum_{i=1}^{n} m_i} = \frac{m_1y_1 + m_2y_2 + ... + m_ny_n}{m_1 + m_2 + ... + m_n}$

$z_{цт} = \frac{\sum_{i=1}^{n} m_i z_i}{\sum_{i=1}^{n} m_i} = \frac{m_1z_1 + m_2z_2 + ... + m_nz_n}{m_1 + m_2 + ... + m_n}$

Для сплошного (непрерывного) тела с объемом $\text{V}$ и плотностью $\rho$, которая может быть переменной, суммирование заменяется интегрированием по всему объему тела:

$x_{цт} = \frac{\int_V x \rho dV}{\int_V \rho dV}$

$y_{цт} = \frac{\int_V y \rho dV}{\int_V \rho dV}$

$z_{цт} = \frac{\int_V z \rho dV}{\int_V \rho dV}$

Знаменатель в этих формулах представляет собой полную массу тела $M = \int_V \rho dV$.

Для однородных тел (с постоянной плотностью $\rho$) правильной геометрической формы центр тяжести совпадает с их геометрическим центром (центром симметрии). Например, у шара – в его центре, у прямоугольного параллелепипеда – на пересечении диагоналей, у диска или кольца – в центре окружности.

Ответ: Координаты центра тяжести в однородном поле вычисляются как средневзвешенные координаты всех точек тела, где в качестве веса используется масса каждой точки. Для системы точек используются формулы суммирования, для сплошных тел — формулы с интегрированием. Для однородных симметричных тел центр тяжести находится в их геометрическом центре.