Проектная деятельность, страница 67 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

Исследуйте зависимость скорости вращения диска от его момента инерции.

Возьмите два CD (старых) и четыре примерно одинаковых шарика из пластилина. Склейте оба диска пластилином, расположив шарики симметрично относительно оси дисков.

Получившееся «колесо» поместите на наклонную плоскость, длина которой должна быть не менее 1 м, и зафиксируйте время его скатывания.

Затем измените положение кусочков пластилина относительно центра дисков, по-прежнему соблюдая симметрию, и повторите опыт ещё 2–3 раза.

Представьте теоретическое доказательство справедливости полученных результатов.

Проведение эксперимента и ожидаемые результаты

В ходе эксперимента исследуется зависимость времени скатывания самодельного «колеса» с наклонной плоскости от его момента инерции. «Колесо» состоит из двух CD-дисков и четырех пластилиновых шариков, расположенных симметрично относительно оси вращения.

Момент инерции $\text{I}$ — это мера инертности тела во вращательном движении. Он зависит не только от массы тела, но и от распределения этой массы относительно оси вращения. Момент инерции системы тел равен сумме моментов инерции каждого тела. Для точечной массы $\text{m}$, находящейся на расстоянии $\text{r}$ от оси вращения, момент инерции равен $mr^2$.

В нашем эксперименте общая масса «колеса» $\text{m}$ остается постоянной. Однако, изменяя положение пластилиновых шариков, мы изменяем момент инерции всей системы $\text{I}$.

1. Шарики расположены близко к центру (малое $\text{r}$). В этом случае их вклад в общий момент инерции минимален. Момент инерции $\text{I}$ системы мал.

2. Шарики расположены далеко от центра, у края дисков (большое $\text{r}$). В этом случае их вклад в общий момент инерции максимален. Момент инерции $\text{I}$ системы велик.

При скатывании с наклонной плоскости начальная потенциальная энергия тела переходит в кинетическую энергию поступательного движения и кинетическую энергию вращательного движения. Чем больше момент инерции, тем большая доля энергии "уходит" во вращение, и, соответственно, меньшая доля — в поступательное движение. Это означает, что тело с большим моментом инерции будет разгоняться медленнее и его линейная скорость будет меньше в любой момент времени по сравнению с телом той же массы, но с меньшим моментом инерции.

Следовательно, чем дальше пластилиновые шарики расположены от центра, тем больше момент инерции «колеса» и тем больше времени ему потребуется, чтобы скатиться с наклонной плоскости.

Ответ: При увеличении расстояния пластилиновых шариков от центра оси вращения момент инерции «колеса» увеличивается, что приводит к увеличению времени его скатывания с наклонной плоскости.

Представьте теоретическое доказательство справедливости полученных результатов.

Дано:

$\text{m}$ — масса «колеса»

$\text{R}$ — внешний радиус «колеса»

$\text{h}$ — начальная высота «колеса» над основанием наклонной плоскости

$\text{L}$ — длина наклонной плоскости

$\text{I}$ — момент инерции «колеса» относительно оси вращения

$\text{g}$ — ускорение свободного падения

$\alpha$ — угол наклона плоскости ($h=L\sin\alpha$)

Найти:

Зависимость времени скатывания $\text{t}$ от момента инерции $\text{I}$.

Решение:

Рассмотрим скатывание «колеса» с наклонной плоскости с использованием закона сохранения энергии. В начальный момент времени (на высоте $\text{h}$) «колесо» покоится, его полная энергия равна потенциальной энергии:

$E_1 = E_p = mgh$

В конечный момент времени (у основания наклонной плоскости, $h=0$) «колесо» обладает кинетической энергией поступательного движения и кинетической энергией вращательного движения. Его полная энергия равна:

$E_2 = E_{k,пост} + E_{k,вращ} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$

где $\text{v}$ — линейная скорость центра масс, а $\omega$ — угловая скорость вращения.

По закону сохранения энергии (пренебрегая трением качения и сопротивлением воздуха): $E_1 = E_2$.

$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$

При скатывании без проскальзывания линейная скорость центра масс и угловая скорость связаны соотношением: $v = \omega R$. Отсюда $\omega = v/R$. Подставим это в уравнение энергии:

$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\left(\frac{v}{R}\right)^2$

$mgh = \frac{1}{2}v^2\left(m + \frac{I}{R^2}\right)$

Выразим квадрат конечной скорости $v^2$:

$v^2 = \frac{2mgh}{m + \frac{I}{R^2}}$

Движение «колеса» по наклонной плоскости является равноускоренным. Для равноускоренного движения из состояния покоя ($v_0 = 0$) пройденный путь $\text{L}$ и время $\text{t}$ связаны с ускорением $\text{a}$ формулами:

$L = \frac{1}{2}at^2$ и $v = at$.

Из этих двух формул можно выразить время через путь и конечную скорость: $t = v/a$, $L = \frac{1}{2}a(v/a)^2 = \frac{v^2}{2a}$, откуда $a = \frac{v^2}{2L}$.

Подставим выражение для ускорения в формулу для пути: $L = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2 \Rightarrow t^2 = \frac{2L}{a}$.

Подставив в $a = \frac{v^2}{2L}$ наше выражение для $v^2$, получим ускорение:

$a = \frac{1}{2L} \cdot \frac{2mgh}{m + \frac{I}{R^2}} = \frac{mgh}{L\left(m + \frac{I}{R^2}\right)}$

Теперь найдем время скатывания $\text{t}$:

$t^2 = \frac{2L}{a} = \frac{2L(L\left(m + \frac{I}{R^2}\right))}{mgh} = \frac{2L^2\left(m + \frac{I}{R^2}\right)}{mgh}$

Учитывая, что $h = L \sin\alpha$:

$t = \sqrt{\frac{2L(m + I/R^2)}{mg\sin\alpha}}$

Из полученной формулы видно, что время скатывания $\text{t}$ напрямую зависит от момента инерции $\text{I}$. В эксперименте величины $L, m, g, R, \alpha$ являются постоянными. Таким образом, $t \sim \sqrt{m + I/R^2}$.

Следовательно, чем больше момент инерции $\text{I}$, тем больше будет время скатывания $\text{t}$.

Момент инерции «колеса» складывается из момента инерции дисков $I_{дисков}$ и момента инерции четырех пластилиновых шариков $I_{шариков}$: $I = I_{дисков} + I_{шариков}$. Считая шарики материальными точками массой $m_{ш}$ каждая, расположенными на расстоянии $\text{r}$ от оси, их суммарный момент инерции равен $I_{шариков} = 4m_{ш}r^2$.

При увеличении расстояния $\text{r}$ шариков от центра, момент инерции $\text{I}$ увеличивается, что, согласно выведенной формуле, приводит к увеличению времени скатывания $\text{t}$. Это полностью подтверждает ожидаемые результаты эксперимента.

Ответ: Теоретический расчет на основе закона сохранения энергии показывает, что время скатывания тела с наклонной плоскости $t = \sqrt{\frac{2L(m + I/R^2)}{mg\sin\alpha}}$. Поскольку время $\text{t}$ является возрастающей функцией от момента инерции $\text{I}$, то чем больше момент инерции (т.е. чем дальше пластилиновые шарики от центра), тем больше времени потребуется «колесу», чтобы скатиться с наклонной плоскости.