Номер 11.5, страница 67 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

11.5. Цилиндрический маховик массой $\text{m}$ и радиусом $\text{R}$ вращается с угловой скоростью $\omega$. С какой силой нужно прижать к маховику тормозную колодку, чтобы он остановился через промежуток времени, равный $\text{t}$? Коэффициент трения между колодкой и маховиком равен $\mu$.

Дано:

Масса цилиндрического маховика: $\text{m}$

Радиус маховика: $\text{R}$

Начальная угловая скорость: $ω$

Время торможения: $\text{t}$

Коэффициент трения: $μ$

Найти:

Силу прижатия тормозной колодки: $\text{F}$

Решение:

Движение маховика описывается основным уравнением динамики вращательного движения: $M = Iε$, где $\text{M}$ – момент силы, тормозящий маховик, $\text{I}$ – момент инерции маховика, $ε$ – угловое ускорение.

Тормозящий момент создается силой трения $F_{тр}$, действующей со стороны тормозной колодки. Сила трения приложена к ободу маховика, поэтому плечо силы равно радиусу $\text{R}$. Момент силы трения равен: $M = F_{тр} \cdot R$.

Сила трения скольжения $F_{тр}$ связана с силой нормальной реакции $\text{N}$, с которой колодка давит на маховик, через коэффициент трения $μ$: $F_{тр} = μN$. По условию, сила прижатия колодки – это и есть искомая сила $\text{F}$, которая по третьему закону Ньютона равна силе нормальной реакции $\text{N}$. Таким образом, $F = N$ и $F_{тр} = μF$.

Подставив выражение для силы трения в формулу для момента, получаем: $M = μFR$.

Момент инерции сплошного цилиндра (маховика) относительно оси, проходящей через его центр, равен: $I = \frac{1}{2}mR^2$.

Маховик вращается равнозамедленно, так как он останавливается за время $\text{t}$. Модуль углового ускорения можно найти из кинематического уравнения для угловой скорости: $ω_{конечная} = ω_{начальная} - εt$. Так как маховик останавливается, $ω_{конечная} = 0$. Начальная угловая скорость равна $ω$. Следовательно, $0 = ω - εt$, откуда модуль углового ускорения $ε = \frac{ω}{t}$.

Теперь приравняем два выражения для момента силы, используя основное уравнение динамики $M = Iε$:

$μFR = \left(\frac{1}{2}mR^2\right) \cdot \left(\frac{ω}{t}\right)$

Выразим из этого уравнения искомую силу $\text{F}$:

$F = \frac{1}{μR} \cdot \frac{mR^2ω}{2t}$

Сократив $\text{R}$ в числителе и знаменателе, получим окончательное выражение для силы прижатия:

$F = \frac{mRω}{2μt}$

Ответ:

Для того чтобы маховик остановился, к нему нужно прижать тормозную колодку с силой $F = \frac{mRω}{2μt}$.