Номер 3, страница 66 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

ЗАДАЧА 3. Цилиндр скатывается без проскальзывания с наклонной плоскости с углом при основании $\alpha$. Рассчитайте ускорение центра масс цилиндра.

Решение. На цилиндр действуют сила тяжести $\text{mg}$, сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$ и сила трения $\vec{F}_{\text{тр}}$ (рис. 1.34). Запишем уравнение второго закона Ньютона в проекциях на ось $\text{X}$ и основное уравнение вращательного движения цилиндра относительно его центра масс: $ma = mg\sin\alpha - F_{\text{тр}}$, $I\varepsilon = M$. Для сплошного цилиндра $I = mr^2/2$, а угловое ускорение $\varepsilon = a/r$. Итак, $ma = mg\sin\alpha - F_{\text{тр}}$, $\frac{mr^2}{2} \cdot \frac{a}{r} = F_{\text{тр}}r$. Отсюда $a = \frac{2}{3}g\sin\alpha$.

Рис. 1.34

Решение задачи упрощается, если записать уравнение вращательного движения относительно точки А, используя теорему Штейнера: $(I_0 + mr^2)\frac{a}{r} = mgr\sin\alpha$, откуда сразу следует, что $a = \frac{2}{3}g\sin\alpha$.

Дано:

сплошной цилиндр

угол наклона плоскости: $\alpha$

условие скатывания без проскальзывания

Найти:

ускорение центра масс цилиндра: $\text{a}$

Решение:

Рассмотрим силы, действующие на цилиндр, скатывающийся с наклонной плоскости. Это сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$, перпендикулярная наклонной плоскости, и сила трения покоя $\vec{F}_{тр}$, направленная вверх вдоль наклонной плоскости. Сила трения является статической, так как цилиндр катится без проскальзывания, и именно она создает вращающий момент.

Выберем систему координат. Направим ось X вдоль наклонной плоскости вниз, а ось Y — перпендикулярно плоскости вверх.

Запишем второй закон Ньютона для поступательного движения центра масс цилиндра в векторной форме: $m\vec{a} = m\vec{g} + \vec{N} + \vec{F}_{тр}$

Спроецируем это уравнение на ось X: $ma = mg\sin\alpha - F_{тр}$ (1)

Проекция на ось Y (хотя и не требуется для нахождения ускорения, она нужна для определения силы трения и условия скатывания): $0 = N - mg\cos\alpha \implies N = mg\cos\alpha$

Теперь запишем основное уравнение динамики вращательного движения относительно оси, проходящей через центр масс цилиндра: $I\varepsilon = M$ где $\text{I}$ — момент инерции цилиндра, $\varepsilon$ — его угловое ускорение, а $\text{M}$ — суммарный момент сил.

Момент создаёт только сила трения $\vec{F}_{тр}$, так как линии действия сил $m\vec{g}$ и $\vec{N}$ проходят через центр масс (ось вращения). Плечо силы трения равно радиусу цилиндра $\text{r}$. $M = F_{тр} \cdot r$

Момент инерции сплошного цилиндра относительно его оси симметрии равен $I = \frac{1}{2}mr^2$.

Таким образом, уравнение вращательного движения принимает вид: $\frac{1}{2}mr^2 \cdot \varepsilon = F_{тр} \cdot r$

Условие качения без проскальзывания связывает линейное ускорение центра масс $\text{a}$ и угловое ускорение $\varepsilon$ соотношением: $a = \varepsilon r \implies \varepsilon = \frac{a}{r}$

Подставим выражение для $\varepsilon$ в уравнение моментов: $\frac{1}{2}mr^2 \cdot \frac{a}{r} = F_{тр} \cdot r$

Упростим и выразим силу трения $F_{тр}$: $\frac{1}{2}mar = F_{тр}r$ $F_{тр} = \frac{1}{2}ma$ (2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений (1) и (2) с двумя неизвестными $\text{a}$ и $F_{тр}$. Подставим выражение для $F_{тр}$ из уравнения (2) в уравнение (1): $ma = mg\sin\alpha - \frac{1}{2}ma$

Перенесем слагаемое с ускорением в левую часть и решим уравнение относительно $\text{a}$: $ma + \frac{1}{2}ma = mg\sin\alpha$ $\frac{3}{2}ma = mg\sin\alpha$

Сократив массу $\text{m}$, получим окончательное выражение для ускорения центра масс: $a = \frac{2}{3}g\sin\alpha$

Ответ: Ускорение центра масс цилиндра равно $a = \frac{2}{3}g\sin\alpha$.