Номер 1, страница 65 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

ЗАДАЧА 1*. Докажите теорему Штейнера для системы, состоящей из двух материальных точек, вращающихся вокруг оси, перпендикулярной прямой, соединяющей эти точки.

Решение. Рассмотрим систему, состоящую из двух материальных точек 1 и 2 массами $m_1$ и $m_2$. Относительно оси вращения, проходящей через центр масс такой системы перпендикулярно прямой, соединяющей точки, момент инерции системы равен:

$I_0 = m_1 r_1^2 + m_2 r_2^2, \quad (1)$

где $r_1$ и $r_2$ — соответственно расстояния от точек 1 и 2 до центра масс системы (рис. 1.33). Момент инерции этой же системы относительно оси, проходящей параллельно первой, но смещённой на расстояние $\text{d}$, равен:

$I = m_1 (r_1 + d)^2 + m_2 (r_2 - d)^2. \quad (2)$

Произведя преобразования, получим

$I = (m_1 r_1^2 + m_2 r_2^2) + (m_1 + m_2)d^2 + 2d(m_1 r_1 - m_2 r_2). \quad (3)$

Рис. 1.33

Так как точка O является центром масс системы материальных точек, то согласно определению центра масс выполняется соотношение

$m_1 r_1 = m_2 r_2. \quad (4)$

Подставляя выражения (1) и (4) в формулу (3), получаем $I = I_0 + (m_1 + m_2)d^2$, что и требовалось доказать.

Дано:

Система из двух материальных точек 1 и 2 с массами $m_1$ и $m_2$.

$r_1$ — расстояние от точки 1 до центра масс системы O.

$r_2$ — расстояние от точки 2 до центра масс системы O.

$I_0$ — момент инерции системы относительно оси, проходящей через центр масс O перпендикулярно прямой, соединяющей точки.

$\text{I}$ — момент инерции системы относительно оси, параллельной первой и смещенной на расстояние $\text{d}$.

Найти:

Доказать теорему Штейнера для данной системы, то есть доказать, что $I = I_0 + (m_1 + m_2)d^2$.

Решение:

Рассмотрим систему, состоящую из двух материальных точек 1 и 2 с массами $m_1$ и $m_2$.

Момент инерции системы относительно оси вращения, проходящей через ее центр масс (точка O на рис. 1.33) перпендикулярно прямой, соединяющей точки, по определению равен сумме произведений масс точек на квадраты их расстояний до оси:

$I_0 = m_1 r_1^2 + m_2 r_2^2$

Теперь рассмотрим момент инерции этой же системы относительно другой оси, которая параллельна первой, но смещена от нее на расстояние $\text{d}$. Согласно рисунку 1.33, расстояния от масс $m_1$ и $m_2$ до этой новой оси будут равны $(r_1 + d)$ и $(r_2 - d)$ соответственно.

Тогда момент инерции $\text{I}$ относительно этой смещенной оси равен:

$I = m_1(r_1 + d)^2 + m_2(r_2 - d)^2$

Произведем алгебраические преобразования, раскрыв скобки в выражении для $\text{I}$:

$I = m_1(r_1^2 + 2r_1 d + d^2) + m_2(r_2^2 - 2r_2 d + d^2)$

Распределим множители:

$I = m_1 r_1^2 + 2m_1 r_1 d + m_1 d^2 + m_2 r_2^2 - 2m_2 r_2 d + m_2 d^2$

Сгруппируем слагаемые следующим образом:

$I = (m_1 r_1^2 + m_2 r_2^2) + (m_1 d^2 + m_2 d^2) + (2m_1 r_1 d - 2m_2 r_2 d)$

$I = (m_1 r_1^2 + m_2 r_2^2) + (m_1 + m_2)d^2 + 2d(m_1 r_1 - m_2 r_2)$

По определению, точка O является центром масс системы материальных точек. Для системы из двух точек, расположенных на одной прямой, условие центра масс (равенство нулю статического момента масс относительно центра масс) записывается как:

$m_1 r_1 = m_2 r_2$

Отсюда следует, что выражение в последних скобках равно нулю: $m_1 r_1 - m_2 r_2 = 0$.

Подставим это, а также выражение для $I_0$, в полученную формулу для $\text{I}$:

$I = I_0 + (m_1 + m_2)d^2 + 2d(0)$

$I = I_0 + (m_1 + m_2)d^2$

Таким образом, мы доказали, что момент инерции системы относительно произвольной оси равен моменту инерции относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс, плюс произведение суммарной массы системы на квадрат расстояния между осями. Что и требовалось доказать.

Ответ: Теорема Штейнера для системы из двух материальных точек доказана. Момент инерции $\text{I}$ относительно оси, смещенной на расстояние $\text{d}$ от параллельной ей оси, проходящей через центр масс, выражается формулой $I = I_0 + (m_1 + m_2)d^2$, где $I_0$ - момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс.