Номер 11.1, страница 67 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

РЕШИТЕ

11.1*. Определите моменты инерции цилиндра массой $\text{m}$, радиусом $\text{R}$ и длиной $\text{l}$ относительно:

а) оси цилиндра;

б) образующей цилиндра;

в) оси, перпендикулярной оси цилиндра и проходящей через край цилиндра (цилиндр очень тонкий).

Дано:

Масса цилиндра: $\text{m}$

Радиус цилиндра: $\text{R}$

Длина цилиндра: $\text{l}$

Условие для пункта в): цилиндр очень тонкий ($R \ll l$)

Найти:

$I_a, I_б, I_в$ - моменты инерции относительно указанных осей.

Решение:

а) относительно оси цилиндра

Момент инерции сплошного цилиндра относительно его оси симметрии (оси цилиндра) является стандартной величиной в физике. Он вычисляется по формуле, которая аналогична моменту инерции диска, так как распределение массы относительно оси не зависит от длины цилиндра.

Формула для момента инерции сплошного цилиндра относительно его оси:

$I_a = \frac{1}{2}mR^2$

где $\text{m}$ – масса цилиндра, а $\text{R}$ – его радиус.

Ответ: $I_a = \frac{1}{2}mR^2$

б) относительно образующей цилиндра

Образующая цилиндра – это линия, лежащая на его боковой поверхности и параллельная его оси. Расстояние от оси цилиндра до любой его образующей равно радиусу $\text{R}$. Поскольку ось, проходящая через образующую, параллельна центральной оси цилиндра, мы можем использовать теорему Гюйгенса-Штейнера (теорему о параллельном переносе оси):

$I = I_c + md^2$

Здесь $I_c$ – это момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела и параллельной рассматриваемой оси. В нашем случае это момент инерции относительно оси цилиндра, найденный в пункте а): $I_c = I_a = \frac{1}{2}mR^2$.

$\text{m}$ – масса тела.

$\text{d}$ – расстояние между параллельными осями. В данном случае $d = R$.

Подставляем значения в формулу:

$I_б = I_a + mR^2 = \frac{1}{2}mR^2 + mR^2 = \frac{3}{2}mR^2$

Ответ: $I_б = \frac{3}{2}mR^2$

в) относительно оси, перпендикулярной оси цилиндра и проходящей через край цилиндра (цилиндр очень тонкий)

Условие "цилиндр очень тонкий" означает, что его радиус $\text{R}$ пренебрежимо мал по сравнению с длиной $\text{l}$ ($R \ll l$). В этом приближении цилиндр можно рассматривать как тонкий стержень длиной $\text{l}$.

Сначала найдем момент инерции такого стержня относительно оси, перпендикулярной ему и проходящей через его центр масс (середину). Для тонкого стержня он равен:

$I_c = \frac{1}{12}ml^2$

Искомая ось вращения проходит через край цилиндра (то есть, через один из концов стержня) и перпендикулярна ему. Эта ось параллельна оси, проходящей через центр масс. Расстояние $\text{d}$ между этими двумя параллельными осями равно половине длины стержня: $d = \frac{l}{2}$.

Снова применяем теорему Гюйгенса-Штейнера:

$I_в = I_c + md^2 = \frac{1}{12}ml^2 + m\left(\frac{l}{2}\right)^2$

Выполним вычисления:

$I_в = \frac{1}{12}ml^2 + \frac{1}{4}ml^2 = \frac{1}{12}ml^2 + \frac{3}{12}ml^2 = \frac{4}{12}ml^2 = \frac{1}{3}ml^2$

Этот результат соответствует известной формуле момента инерции тонкого стержня относительно оси, проходящей через его конец.

Ответ: $I_в = \frac{1}{3}ml^2$