Номер 11.6, страница 67 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

11.6*. Мальчик бросает обруч радиусом $\text{R}$ в горизонтальном направлении со скоростью $\text{v}$, одновременно сообщая ему вращение в обратную сторону с угловой скоростью $\omega$. При каком соотношении между заданными величинами обруч покатится обратно к мальчику?

Дано:

Радиус обруча: $\text{R}$

Начальная горизонтальная скорость центра масс: $\text{v}$

Начальная угловая скорость вращения: $\omega$

Найти:

Соотношение между $v, \omega, R$, при котором обруч покатится обратно.

Решение:

Направим ось $\text{Ox}$ горизонтально в сторону первоначального броска. Таким образом, начальная скорость центра масс обруча $v_{CM,0} = v$.

В условии сказано, что обручу сообщается «вращение в обратную сторону». При обычном качении вперёд (в направлении оси $\text{Ox}$) обруч вращается по часовой стрелке. Следовательно, «обратное» вращение означает вращение против часовой стрелки. Будем считать это направление вращения положительным, тогда начальная угловая скорость $\omega_{0} = \omega$.

При контакте с поверхностью скорость точки обруча, касающейся земли, равна векторной сумме скорости центра масс и тангенциальной скорости точки от вращения. Тангенциальная скорость нижней точки при вращении против часовой стрелки направлена против оси $\text{Ox}$. Таким образом, скорость точки касания в начальный момент времени равна:

$v_{кас} = v_{CM,0} - \omega_{0} R = v - \omega R$

Если $v_{кас} \neq 0$, возникает проскальзывание, и на обруч начинает действовать сила трения скольжения $F_{тр}$. Эта сила изменяет как поступательную, так и вращательную скорости обруча до тех пор, пока проскальзывание не прекратится и не начнётся качение без проскальзывания. Связь между начальными и конечными параметрами движения можно найти, используя законы изменения импульса и момента импульса.

Изменение импульса тела равно импульсу внешней силы:

$m(v_f - v) = J_x$

где $v_f$ - конечная скорость центра масс, а $J_x = \int F_{тр,x} dt$ - проекция импульса силы трения на ось $\text{Ox}$.

Изменение момента импульса относительно центра масс равно импульсу момента внешней силы:

$I(\omega_f - \omega) = J_{\tau}$

где $I=mR^2$ - момент инерции обруча, $\omega_f$ - конечная угловая скорость, $J_{\tau}$ - импульс момента силы трения. Момент силы трения $F_{тр,x}$ относительно центра масс создаёт крутящий момент $\tau_z = R \cdot F_{тр,x}$. Соответственно, импульс момента $J_{\tau} = R \cdot J_x$.

Получаем систему уравнений:

$m(v_f - v) = J_x$

$mR^2(\omega_f - \omega) = R J_x$

Из второго уравнения выразим $J_x = mR(\omega_f - \omega)$ и подставим в первое:

$m(v_f - v) = mR(\omega_f - \omega)$

$v_f - v = R\omega_f - R\omega$

$v_f - R\omega_f = v - R\omega$

Это уравнение связывает начальные и конечные скорости. В конечном состоянии обруч катится без проскальзывания. Условие качения без проскальзывания (при нашей системе знаков, где вращение против часовой стрелки положительно) имеет вид: $v_f = -\omega_f R$. Отсюда $\omega_f = -v_f/R$.

Подставим это условие в полученное ранее соотношение:

$v_f - R(-v_f/R) = v - R\omega$

$v_f + v_f = v - R\omega$

$2v_f = v - R\omega$

$v_f = \frac{v - R\omega}{2}$

Обруч покатится обратно к мальчику, если его конечная скорость будет направлена в обратную сторону, то есть $v_f < 0$.

$\frac{v - R\omega}{2} < 0$

$v - R\omega < 0$

$v < R\omega$

Рассмотрим граничный случай $v = R\omega$. В этой ситуации начальная скорость точки касания $v_{кас} = 0$, то есть проскальзывания нет с самого начала. Сила трения не возникает, и обруч продолжает движение со своей начальной скоростью $v > 0$, то есть удаляется от мальчика. Таким образом, для возвращения необходимо строгое неравенство.

Ответ: $v < R\omega$.