Номер 4, страница 70 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

4. Какая точка называется центром масс тела?

Центром масс (или центром инерции) механической системы называется точка, положение которой характеризует распределение массы в теле или системе тел.

С физической точки зрения, центр масс — это точка, которая движется так, как двигалась бы материальная точка с массой, равной массе всей системы, под действием всех внешних сил, приложенных к системе. Иными словами, движение любой сложной системы можно представить как сумму поступательного движения её центра масс и вращательного движения системы вокруг этого центра.

Математически положение центра масс определяется как средневзвешенное положение всех точек системы, где в качестве веса используется масса.

Для системы, состоящей из $\text{N}$ материальных точек с массами $m_1, m_2, \dots, m_N$ и радиус-векторами $\vec{r}_1, \vec{r}_2, \dots, \vec{r}_N$, радиус-вектор центра масс $\vec{r}_c$ определяется формулой: $ \vec{r}_c = \frac{m_1\vec{r}_1 + m_2\vec{r}_2 + \dots + m_N\vec{r}_N}{m_1 + m_2 + \dots + m_N} = \frac{\sum_{i=1}^{N} m_i \vec{r}_i}{\sum_{i=1}^{N} m_i} = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^{N} m_i \vec{r}_i $ где $\text{M}$ — полная масса системы.

Для твердого тела с непрерывным распределением массы, радиус-вектор центра масс находится с помощью интегрирования: $ \vec{r}_c = \frac{1}{M} \int_V \vec{r} \, dm $ где $M = \int_V dm$ — полная масса тела, $\text{dm}$ — масса малого элемента объема, $\vec{r}$ — радиус-вектор этого элемента, а интегрирование производится по всему объему $\text{V}$ тела.

Ключевые особенности центра масс:
• В однородном гравитационном поле центр масс совпадает с центром тяжести.
• У тел, обладающих симметрией (например, шар, куб, диск), центр масс совпадает с их геометрическим центром, если они однородны.
• Центр масс может находиться вне пределов самого тела. Классический пример — кольцо или бумеранг, у которых центр масс лежит в пустоте.

Ответ: Центром масс тела называется точка, которая движется так, как если бы в ней была сосредоточена вся масса тела и на неё действовала бы равнодействующая всех внешних сил, приложенных к телу. Положение этой точки определяется как средневзвешенное по массе положение всех точек, составляющих тело.