Номер 12.2, страница 72 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

12.2. Однородный стержень массой $0.1 \text{ кг}$ укреплён одним концом в шарнире и удерживается в равновесии с помощью нити, прикреплённой к другому его концу. Угол $\alpha$ между стержнем и вертикальным направлением равен $30^\circ$. Определите силы натяжения нити и реакции шарнира, если нить расположена горизонтально (рис. 1.39).

Рис. 1.39

Дано:

$m = 0,1 \text{ кг}$

$\alpha = 30^\circ$

$g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$

Найти:

$\text{T}$ - сила натяжения нити

$\text{R}$ - сила реакции шарнира

Решение:

На стержень действуют три силы: сила тяжести $\text{mg}$, приложенная к центру масс стержня (в середине, так как стержень однородный), сила натяжения нити $\text{T}$, направленная горизонтально, и сила реакции шарнира $\text{R}$. Поскольку стержень находится в равновесии, выполняются два условия:

1. Сумма всех сил, действующих на стержень, равна нулю (равновесие поступательного движения).

2. Сумма моментов всех сил относительно любой точки равна нулю (равновесие вращательного движения).

Для нахождения силы натяжения нити $\text{T}$ удобно использовать правило моментов относительно точки крепления стержня в шарнире (точка O). В этом случае момент силы реакции шарнира $\text{R}$ будет равен нулю, так как ее плечо равно нулю.

Момент силы тяжести $M_{mg}$ стремится повернуть стержень по часовой стрелке (будем считать его отрицательным). Плечо силы тяжести, приложенной к середине стержня, равно $d_1 = \frac{L}{2}\sin\alpha$, где $\text{L}$ - длина стержня.

$M_{mg} = -mg \cdot d_1 = -mg \frac{L}{2}\sin\alpha$

Момент силы натяжения нити $M_T$ стремится повернуть стержень против часовой стрелки (будем считать его положительным). Плечо силы натяжения равно $d_2 = L\cos\alpha$.

$M_T = T \cdot d_2 = T L\cos\alpha$

Условие равновесия моментов: $\sum M = 0$.

$M_T + M_{mg} = 0$

$T L\cos\alpha - mg \frac{L}{2}\sin\alpha = 0$

Сократив на $\text{L}$, получим:

$T\cos\alpha = \frac{mg}{2}\sin\alpha$

Отсюда выражаем силу натяжения нити $\text{T}$:

$T = \frac{mg}{2} \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{mg}{2}\tan\alpha$

Подставим числовые значения:

$T = \frac{0,1 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2}{2} \tan(30^\circ) = 0,49 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0,283 \text{ Н}$

Для нахождения силы реакции шарнира $\text{R}$ воспользуемся первым условием равновесия. Разложим силу $\text{R}$ на две составляющие: горизонтальную $R_x$ и вертикальную $R_y$. Запишем уравнения равновесия сил в проекциях на горизонтальную (ось X) и вертикальную (ось Y) оси.

Сумма проекций сил на ось X:

$\sum F_x = R_x - T = 0 \implies R_x = T \approx 0,283 \text{ Н}$

Сумма проекций сил на ось Y:

$\sum F_y = R_y - mg = 0 \implies R_y = mg = 0,1 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 = 0,98 \text{ Н}$

Полная сила реакции шарнира $\text{R}$ находится по теореме Пифагора:

$R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{(0,283)^2 + (0,98)^2} \approx \sqrt{0,080 + 0,9604} = \sqrt{1,0404} \approx 1,02 \text{ Н}$

Округляя результаты до двух значащих цифр, получаем:

Ответ: сила натяжения нити aproximadamente $0,28 \text{ Н}$, сила реакции шарнира aproximadamente $1,0 \text{ Н}$.