Номер 6, страница 70 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

6. В каких случаях центр масс и центр тяжести тела совпадают?

6. Центр масс и центр тяжести — это понятия, которые часто используют как синонимы, но строго говоря, они различны.

Центр масс — это геометрическая точка, положение которой характеризует распределение массы в теле или системе частиц. Её положение зависит исключительно от формы тела и распределения в нём плотности. Радиус-вектор центра масс $ \vec{r}_{цм} $ для системы частиц определяется как средневзвешенное значение радиус-векторов этих частиц:

$ \vec{r}_{цм} = \frac{\sum_i m_i \vec{r}_i}{\sum_i m_i} $

где $ m_i $ — масса $\text{i}$-й частицы, а $ \vec{r}_i $ — её радиус-вектор.

Центр тяжести — это точка приложения равнодействующей всех сил тяжести, действующих на частицы тела. Положение центра тяжести зависит не только от распределения массы, но и от гравитационного поля, в котором находится тело. Его радиус-вектор $ \vec{r}_{цт} $ определяется как:

$ \vec{r}_{цт} = \frac{\sum_i (m_i g_i) \vec{r}_i}{\sum_i m_i g_i} $

где $ g_i $ — величина ускорения свободного падения в точке, где находится частица массы $ m_i $.

Сравнивая эти две формулы, можно увидеть, что они станут идентичными, если $ g_i $ будет одинаковым для всех частиц тела, то есть $ g_1 = g_2 = \dots = g = const $. Такое условие выполняется, если тело находится в однородном гравитационном поле, то есть в поле, где вектор ускорения свободного падения $ \vec{g} $ имеет одинаковую величину и направление во всех точках пространства, занимаемого телом.

В повседневной жизни и в большинстве инженерных расчётов для объектов, находящихся на поверхности Земли (например, здание, автомобиль, человек), гравитационное поле можно считать однородным, так как их размеры пренебрежимо малы по сравнению с радиусом Земли. В этих случаях центр масс и центр тяжести практически совпадают.

Однако для астрономических объектов или очень протяжённых тел (например, гора или небоскрёб) поле уже нельзя считать однородным. Сила тяжести у основания такого объекта будет немного больше, чем у вершины. В результате центр тяжести окажется смещён относительно центра масс (для высокого объекта на Земле — немного ниже).

Ответ: Центр масс и центр тяжести тела совпадают, если тело находится в однородном гравитационном поле (т.е. поле, в котором ускорение свободного падения одинаково по величине и направлению во всех точках тела).