Номер 1, страница 70 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

ЗАДАЧА 1. Два человека одинакового роста держат на плечах за концы в горизонтальном положении трубу длиной 2 м и массой 10 кг. На расстоянии 0,5 м от первого человека к трубе подвешен груз массой 100 кг. Определите силы, с которыми труба давит на плечи первого и второго человека. Можно ли по данным задачи рассчитать силы давления трубы, если её будут нести не два, а три человека?

Решение. В рассматриваемой задаче все векторы сил параллельны оси ординат, поэтому уравнения равновесия имеют вид $\Sigma F_y = 0, \Sigma M = 0$.

Выбрав ось, проходящую через точку А (рис. 1.36), запишем условия равновесия:

$N_1 + N_2 - m_1g - m_2g = 0,$

$m_2gAC + m_1gAO - N_2AB = 0$

(здесь $N_1$ и $N_2$ — силы, действующие на трубу).

Отсюда найдём: $N_2 = \frac{m_2gAC + m_1gAO}{AB}$

Полагая $g = 10 \text{ м/с}^2$, получаем $N_2 = 300 \text{ Н},$ $N_1 = (m_1 + m_2)g - N_2 = 800 \text{ Н}.$

Чтобы проверить полученный ответ, определим модуль силы $N_1$, применив правило моментов относительно точки В:

$N_1AB - m_2gBC - m_1gOB = 0,$

$N_1 = \frac{m_2gBC + m_1gOB}{AB} = 800 \text{ Н}.$

В соответствии с третьим законом Ньютона труба давит на плечи с силами $F_1$ и $F_2$, равными по модулю, но противоположно направленными силам $N_1$ и $N_2$. Следовательно, $F_1 = 800 \text{ Н},$ $F_2 = 300 \text{ Н}.$

Для случая, когда трубу несут три человека, независимых уравнений получается два, а неизвестных сил реакции опор — три. Расчёт трёх сил в рамках модели «труба — абсолютно твёрдое тело» невыполним.

Рис. 1.36

Определите силы, с которыми труба давит на плечи первого и второго человека.

Дано:

Длина трубы, $L = 2$ м

Масса трубы, $m_1 = 10$ кг

Масса груза, $m_2 = 100$ кг

Расстояние от первого человека до груза, $l = 0,5$ м

Ускорение свободного падения, $g = 10$ м/с²

Найти:

Силы давления на плечи первого и второго человека, $F_1$ и $F_2$.

Решение:

Труба находится в равновесии. На неё действуют сила тяжести трубы $P_1 = m_1g$, сила тяжести груза $P_2 = m_2g$ и силы реакции опоры со стороны плеч первого ($N_1$) и второго ($N_2$) человека. Согласно третьему закону Ньютона, силы $F_1$ и $F_2$, с которыми труба давит на плечи, по модулю равны силам реакции опоры: $F_1 = N_1$ и $F_2 = N_2$.

Расположим трубу на оси $\text{Ox}$. Пусть первый человек находится в точке A ($x_A = 0$), а второй — в точке B ($x_B = L = 2$ м). Так как труба однородна, её центр масс находится посередине, в точке O ($x_O = L/2 = 1$ м). Груз подвешен в точке C ($x_C = l = 0,5$ м).

Для равновесия тела необходимо, чтобы сумма всех сил и сумма моментов всех сил относительно любой точки были равны нулю.

1. Условие равенства нулю суммы сил (проекция на ось Y, направленную вверх):

$\sum F_y = 0 \implies N_1 + N_2 - m_1g - m_2g = 0$

$N_1 + N_2 = (m_1 + m_2)g$

2. Условие равенства нулю суммы моментов сил. Выберем точку A в качестве оси вращения. Момент силы $N_1$ будет равен нулю. Силы $m_1g$ и $m_2g$ создают вращающий момент по часовой стрелке (отрицательный), а сила $N_2$ — против часовой стрелки (положительный).

$\sum M_A = 0 \implies N_2 \cdot (x_B - x_A) - m_1g \cdot (x_O - x_A) - m_2g \cdot (x_C - x_A) = 0$

$N_2 \cdot L - m_1g \cdot \frac{L}{2} - m_2g \cdot l = 0$

Из уравнения моментов найдем силу реакции $N_2$:

$N_2 = \frac{m_1g \frac{L}{2} + m_2g l}{L} = g \frac{m_1 L/2 + m_2 l}{L}$

Подставим числовые значения:

$N_2 = 10 \cdot \frac{10 \cdot (2/2) + 100 \cdot 0,5}{2} = 10 \cdot \frac{10 \cdot 1 + 50}{2} = 10 \cdot \frac{60}{2} = 300$ Н.

Теперь из первого уравнения найдем силу реакции $N_1$:

$N_1 = (m_1 + m_2)g - N_2 = (10 + 100) \cdot 10 - 300 = 110 \cdot 10 - 300 = 1100 - 300 = 800$ Н.

Следовательно, силы давления на плечи равны:

$F_1 = N_1 = 800$ Н

$F_2 = N_2 = 300$ Н

Ответ: Сила, с которой труба давит на плечо первого человека, равна 800 Н; на плечо второго человека — 300 Н.

Можно ли по данным задачи рассчитать силы давления трубы, если её будут нести не два, а три человека?

Решение:

Если трубу будут нести три человека, то на трубу будут действовать три неизвестные силы реакции опоры ($N_1$, $N_2$, $N_3$). Для определения этих сил в рамках статики абсолютно твердого тела можно составить уравнения равновесия.

В данной плоской задаче, где все силы вертикальны, можно составить только два независимых уравнения:

1. Уравнение равенства нулю суммы проекций сил на вертикальную ось: $\sum F_y = 0$.

$N_1 + N_2 + N_3 - m_1g - m_2g = 0$

2. Уравнение равенства нулю суммы моментов сил относительно любой точки: $\sum M = 0$.

В результате мы получаем систему из двух уравнений с тремя неизвестными ($N_1$, $N_2$, $N_3$). Такая система имеет бесконечное множество решений. Подобная задача называется статически неопределимой.

Для нахождения однозначного решения необходимо учитывать дополнительные условия, например, деформацию (прогиб) трубы, что выходит за рамки модели абсолютно твердого тела. Распределение нагрузки будет зависеть от упругих свойств трубы и точного взаимного расположения точек опор (плеч людей).

Ответ: Нет, по данным задачи рассчитать силы давления в случае трех человек невозможно, так как задача является статически неопределимой в модели абсолютно твердого тела. Количество неизвестных сил (три) превышает количество независимых уравнений равновесия (два).