Номер 12.4, страница 72 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

12.4. Цилиндр радиусом $\text{R}$ имеет цилиндрическую полость радиусом $\text{r}$, ось которой расположена параллельно оси цилиндра и смещена относительно неё на расстояние $\text{l}$. Цилиндр положили на наклонную плоскость. Определите максимальный угол наклона плоскости, при котором цилиндр ещё не скатывается.

Дано:

Радиус цилиндра: $\text{R}$
Радиус полости: $\text{r}$
Смещение оси полости относительно оси цилиндра: $\text{l}$

Найти:

Максимальный угол наклона плоскости $\alpha_{max}$

Решение:

Цилиндр будет находиться в равновесии на наклонной плоскости до тех пор, пока он может занять такое положение, в котором сумма сил и сумма моментов сил, действующих на него, равны нулю. Максимальный угол наклона $\alpha_{max}$ соответствует предельному случаю, когда такое положение равновесия еще возможно.

1. Определение положения центра масс.
Для нахождения центра масс (ЦМ) тела с полостью используем метод "отрицательной массы". Представим, что наше тело состоит из сплошного цилиндра радиусом $\text{R}$ (масса $\text{M}$) и наложенного на него "отрицательного" цилиндра радиусом $\text{r}$ (масса $-m$), который соответствует полости.

Пусть ось $\text{z}$ совпадает с осью сплошного цилиндра. Поместим начало координат в его геометрический центр O. Ось полости смещена на расстояние $\text{l}$, пусть ее координата будет $x_m=l$. Масса сплошного цилиндра $M = \rho \pi R^2 h$, где $\rho$ - плотность материала, $\text{h}$ - высота цилиндра. Масса удаленной части $m = \rho \pi r^2 h$.

Координата центра масс $x_c$ системы определяется по формуле: $x_c = \frac{M \cdot x_M - m \cdot x_m}{M - m} = \frac{M \cdot 0 - m \cdot l}{M - m} = \frac{-(\rho \pi r^2 h) l}{\rho \pi R^2 h - \rho \pi r^2 h}$

Сокращая общие множители $\rho \pi h$, получаем: $x_c = \frac{-lr^2}{R^2 - r^2}$

Знак "минус" показывает, что ЦМ смещен от геометрического центра в сторону, противоположную полости. Расстояние $\text{d}$ от геометрического центра O до центра масс C равно модулю этой координаты: $d = |x_c| = \frac{lr^2}{R^2 - r^2}$

2. Условие равновесия.
Рассмотрим силы, действующие на цилиндр на наклонной плоскости: сила тяжести $\text{mg}$, сила нормальной реакции опоры $\text{N}$ и сила трения покоя $F_{тр}$. Для равновесия (без скольжения и вращения) необходимо, чтобы сумма сил и сумма моментов сил были равны нулю.

Запишем уравнение моментов относительно геометрического центра цилиндра O. Сила $\text{N}$ проходит через O, поэтому ее момент равен нулю. Момент создает сила тяжести $\text{mg}$, приложенная в центре масс C, и сила трения $F_{тр}$, приложенная в точке контакта P.

Из условия равновесия сил вдоль наклонной плоскости следует, что сила трения покоя уравновешивает скатывающую составляющую силы тяжести: $F_{тр} = mg \sin\alpha$

Момент силы трения относительно центра O равен (направлен против часовой стрелки, если цилиндр хочет скатиться по часовой): $M_{тр} = F_{тр} \cdot R = mgR \sin\alpha$

Момент силы тяжести зависит от ориентации цилиндра. Пусть вектор OC (от центра O к центру масс C) составляет угол $\theta$ с линией, перпендикулярной наклонной плоскости. Тогда плечо силы тяжести относительно центра O равно $d \sin\theta$. Момент силы тяжести (направлен по часовой стрелке): $M_{тяж} = mg \cdot (d \sin\theta)$

В состоянии равновесия моменты должны уравновешивать друг друга: $M_{тр} = M_{тяж}$ $mgR \sin\alpha = mgd \sin\theta$ $R \sin\alpha = d \sin\theta$

Отсюда $\sin\theta = \frac{R}{d} \sin\alpha$.

Равновесие возможно, пока существует реальный угол $\theta$, удовлетворяющий этому уравнению. Поскольку максимальное значение $\sin\theta$ равно 1, должно выполняться условие: $\frac{R}{d} \sin\alpha \le 1$

Это дает нам предельное условие для угла наклона плоскости $\alpha$: $\sin\alpha \le \frac{d}{R}$

Максимальный угол $\alpha_{max}$ соответствует знаку равенства: $\sin\alpha_{max} = \frac{d}{R}$

3. Вычисление итогового выражения.
Подставим найденное ранее выражение для расстояния $\text{d}$: $\sin\alpha_{max} = \frac{1}{R} \left( \frac{lr^2}{R^2 - r^2} \right) = \frac{lr^2}{R(R^2 - r^2)}$

Окончательно, максимальный угол наклона плоскости, при котором цилиндр ещё не скатывается:

Ответ: $\alpha_{max} = \arcsin\left(\frac{lr^2}{R(R^2 - r^2)}\right)$