Номер 12.1, страница 72 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

РЕШИТЕ

12.1. Балка длиной 8 м и массой 100 кг расположена горизонтально и покоится на двух опорах. Известно, что $AM = 3$ м, $MN = 3$ м, $NB = 2$ м. На расстоянии 2 м от левого конца балки подвешен груз массой 40 кг. Определите силы, с которыми балка давит на опоры (рис. 1.38).

Рис. 1.38

Дано:

Длина балки $L = 8$ м

Масса балки $m_б = 100$ кг

Масса груза $m_г = 40$ кг

Расстояние $AM = 3$ м

Расстояние $MN = 3$ м

Расстояние $NB = 2$ м

Расстояние от левого конца (A) до груза $l_г = 2$ м

Примем ускорение свободного падения $g \approx 10$ Н/кг.

Найти:

Силы $F_M$ и $F_N$, с которыми балка давит на опоры M и N.

Решение:

Балка находится в равновесии. Это означает, что выполняются два условия статики:

1. Сумма всех сил, действующих на балку, равна нулю.

2. Сумма моментов всех сил относительно любой точки равна нулю.

На балку действуют следующие силы:

• Сила тяжести балки $W_б$, приложенная в ее центре масс. Так как балка однородна, ее центр масс находится посередине, на расстоянии $L/2 = 4$ м от конца A.
• Сила тяжести груза $W_г$, приложенная на расстоянии $l_г = 2$ м от конца A.
• Силы реакции опор $R_M$ и $R_N$, направленные вертикально вверх в точках M и N.

Согласно третьему закону Ньютона, силы $F_M$ и $F_N$, с которыми балка давит на опоры, равны по модулю и противоположны по направлению силам реакции опор $R_M$ и $R_N$. Таким образом, $F_M = R_M$ и $F_N = R_N$. Наша задача — найти $R_M$ и $R_N$.

Рассчитаем силы тяжести:

Сила тяжести балки: $W_б = m_б \cdot g = 100 \text{ кг} \cdot 10 \text{ Н/кг} = 1000$ Н.

Сила тяжести груза: $W_г = m_г \cdot g = 40 \text{ кг} \cdot 10 \text{ Н/кг} = 400$ Н.

Запишем первое условие равновесия (равенство сил). Направим ось OY вертикально вверх. Сумма проекций всех сил на эту ось равна нулю.

$R_M + R_N - W_б - W_г = 0$

$R_M + R_N = W_б + W_г = 1000 \text{ Н} + 400 \text{ Н} = 1400$ Н.

Запишем второе условие равновесия (равенство моментов). Для этого выберем точку, относительно которой будем считать моменты. Удобно выбрать одну из точек опоры, например, точку M. Это позволит исключить из уравнения момент силы $R_M$, так как ее плечо будет равно нулю.

Примем моменты сил, вращающие балку по часовой стрелке, положительными, а против часовой стрелки — отрицательными.

Определим положения точек приложения сил относительно левого конца A:

• Точка приложения силы $W_г$: $x_г = 2$ м.
• Точка опоры M: $x_M = 3$ м.
• Центр масс балки (точка приложения $W_б$): $x_б = 4$ м.
• Точка опоры N: $x_N = AM + MN = 3 + 3 = 6$ м.

Рассчитаем моменты сил относительно точки M:

• Момент силы $W_г$: плечо $d_г = x_M - x_г = 3 - 2 = 1$ м. Сила вращает балку против часовой стрелки, момент отрицательный. $M_г = -W_г \cdot d_г = -400 \text{ Н} \cdot 1 \text{ м} = -400$ Н·м.
• Момент силы $W_б$: плечо $d_б = x_б - x_M = 4 - 3 = 1$ м. Сила вращает балку по часовой стрелке, момент положительный. $M_б = W_б \cdot d_б = 1000 \text{ Н} \cdot 1 \text{ м} = 1000$ Н·м.
• Момент силы $R_N$: плечо $d_N = x_N - x_M = 6 - 3 = 3$ м. Сила вращает балку против часовой стрелки, момент отрицательный. $M_N = -R_N \cdot d_N = -R_N \cdot 3$ м.

Сумма моментов равна нулю:

$M_г + M_б + M_N = 0$

$-400 \ \mathrm{Н \cdot м} + 1000 \ \mathrm{Н \cdot м} - R_N \cdot 3 \text{ м} = 0$

$600 \ \mathrm{Н \cdot м} = R_N \cdot 3 \text{ м}$

Отсюда находим $R_N$:

$R_N = \frac{600 \ \mathrm{Н \cdot м}}{3 \text{ м}} = 200$ Н.

Теперь, зная $R_N$, найдем $R_M$ из уравнения равенства сил:

$R_M + R_N = 1400$ Н

$R_M = 1400 \text{ Н} - R_N = 1400 \text{ Н} - 200 \text{ Н} = 1200$ Н.

Силы, с которыми балка давит на опоры, равны найденным силам реакции опор:

$F_M = R_M = 1200$ Н

$F_N = R_N = 200$ Н

Ответ: Сила, с которой балка давит на опору M, равна 1200 Н. Сила, с которой балка давит на опору N, равна 200 Н.