Номер 11.4, страница 67 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

11.4. Через неподвижный блок, представляющий собой диск массой $m_0$, перекинута невесомая и нерастяжимая нить, к концам которой подвешены два груза массами $m_1$ и $m_2$. Чему равны модули ускорения грузов и сил натяжения нити?

Дано:

Масса блока (диска): $m_0$

Масса первого груза: $m_1$

Масса второго груза: $m_2$

Нить невесомая и нерастяжимая.

Найти:

Модуль ускорения грузов $\text{a}$.

Силы натяжения нити $T_1$ и $T_2$.

Решение:

Рассмотрим систему, состоящую из двух грузов и блока. Поскольку нить нерастяжима, оба груза движутся с одинаковым по модулю ускорением $\text{a}$. Так как блок имеет массу, он обладает моментом инерции, и поэтому силы натяжения нити по обе стороны от него будут различны. Обозначим $T_1$ силу натяжения нити, действующую на груз $m_1$, и $T_2$ – силу натяжения, действующую на груз $m_2$.

Для определённости предположим, что $m_2 > m_1$. Тогда груз $m_2$ будет опускаться, а груз $m_1$ – подниматься. Запишем второй закон Ньютона для каждого из грузов в проекции на ось движения (положительное направление совпадает с направлением ускорения):

Для груза $m_1$: $T_1 - m_1g = m_1a$ (1)

Для груза $m_2$: $m_2g - T_2 = m_2a$ (2)

Блок представляет собой диск, который вращается под действием сил натяжения нити. Момент инерции диска относительно оси вращения равен $I = \frac{1}{2}m_0R^2$, где $\text{R}$ – радиус диска.

Вращающий момент, создаваемый силами натяжения, равен $\tau = (T_2 - T_1)R$.

Основное уравнение динамики вращательного движения имеет вид $\tau = I\alpha$, где $\alpha$ – угловое ускорение блока.

$(T_2 - T_1)R = \frac{1}{2}m_0R^2\alpha$

Поскольку нить не проскальзывает по блоку, линейное ускорение грузов $\text{a}$ связано с угловым ускорением блока $\alpha$ соотношением $a = \alpha R$, откуда $\alpha = a/R$.

Подставим это в уравнение для вращательного движения:

$(T_2 - T_1)R = \frac{1}{2}m_0R^2 \cdot \frac{a}{R}$

$T_2 - T_1 = \frac{1}{2}m_0a$ (3)

Теперь у нас есть система из трех уравнений с тремя неизвестными ($\text{a}$, $T_1$, $T_2$).

Из уравнений (1) и (2) выразим $T_1$ и $T_2$:

$T_1 = m_1g + m_1a$

$T_2 = m_2g - m_2a$

Подставим эти выражения в уравнение (3):

$(m_2g - m_2a) - (m_1a + m_1g) = \frac{1}{2}m_0a$

Сгруппируем слагаемые, чтобы найти ускорение $\text{a}$:

$m_2g - m_1g = m_1a + m_2a + \frac{1}{2}m_0a$

$(m_2 - m_1)g = a\left(m_1 + m_2 + \frac{m_0}{2}\right)$

Отсюда находим модуль ускорения. Чтобы результат был верен при любом соотношении масс $m_1$ и $m_2$, возьмём разность масс по модулю:

$a = \frac{|m_2 - m_1|g}{m_1 + m_2 + \frac{m_0}{2}}$

Теперь найдём силы натяжения нити $T_1$ и $T_2$, подставив найденное выражение для $\text{a}$ (для случая $m_2 > m_1$) в формулы для $T_1$ и $T_2$.

Для $T_1$: $T_1 = m_1(g+a) = m_1g\left(1 + \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2 + \frac{m_0}{2}}\right) = m_1g\left(\frac{m_1 + m_2 + \frac{m_0}{2} + m_2 - m_1}{m_1 + m_2 + \frac{m_0}{2}}\right) = m_1g\frac{2m_2 + \frac{m_0}{2}}{m_1 + m_2 + \frac{m_0}{2}}$

Для $T_2$: $T_2 = m_2(g-a) = m_2g\left(1 - \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2 + \frac{m_0}{2}}\right) = m_2g\left(\frac{m_1 + m_2 + \frac{m_0}{2} - m_2 + m_1}{m_1 + m_2 + \frac{m_0}{2}}\right) = m_2g\frac{2m_1 + \frac{m_0}{2}}{m_1 + m_2 + \frac{m_0}{2}}$

Для удобства можно привести дроби к общему знаменателю, умножив числитель и знаменатель на 2.

Модули ускорения грузов

Модуль ускорения для обоих грузов одинаков.

Ответ: $a = \frac{|m_1 - m_2|g}{m_1 + m_2 + m_0/2} = \frac{2|m_1 - m_2|g}{2(m_1 + m_2) + m_0}$

Силы натяжения нити

Поскольку блок имеет массу, силы натяжения нити по обе стороны от него различны. Сила натяжения $T_1$ действует на груз $m_1$, а сила $T_2$ — на груз $m_2$.

Ответ: Сила натяжения нити у груза $m_1$:

$T_1 = \frac{m_1g(2m_2 + m_0/2)}{m_1 + m_2 + m_0/2} = \frac{m_1g(4m_2 + m_0)}{2(m_1 + m_2) + m_0}$

Сила натяжения нити у груза $m_2$:

$T_2 = \frac{m_2g(2m_1 + m_0/2)}{m_1 + m_2 + m_0/2} = \frac{m_2g(4m_1 + m_0)}{2(m_1 + m_2) + m_0}$