Номер 2, страница 66 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

ЗАДАЧА 2. Вследствие действия приливов, вызванных притяжением Луны и Солнца, продолжительность суток на Земле увеличивается за $\Delta t = 100$ лет на $\Delta T = 0,001$ с. Определите приливную силу трения. Землю можно считать однородным шаром массой $6 \cdot 10^{24}$ кг и радиусом $6,4 \cdot 10^6$ м.

Решение. Из основного уравнения динамики вращательного движения следует, что момент силы трения $M_{\text{тр}} = I\varepsilon$.

Момент инерции Земли $I = 0,4mR^2$. Изменение угловой скорости Земли $\Delta\omega = \frac{2\pi}{T} - \frac{2\pi}{T+\Delta T} \approx \frac{2\pi\Delta T}{T^2}$, а угловое ускорение $\varepsilon = \frac{\Delta\omega}{\Delta t} = \frac{2\pi\Delta T}{T^2\Delta t}$, где $\Delta t = 100$ лет $= 100 \cdot 365 \cdot 24 \cdot 3600$ с. Представим упрощённо действие приливной волны как действие приливной силы трения $F_{\text{тр}}$, приложенной перпендикулярно радиусу Земли на экваторе. Момент приливной силы трения равен:

$M_{\text{тр}} = F_{\text{тр}}R$.

Подставив значения момента инерции Земли $\text{I}$, углового ускорения и момента приливной силы трения $M_{\text{тр}}$ в основное уравнение динамики вращательного движения, получим $0,4mR^2 \frac{2\pi\Delta T}{T^2\Delta t} = F_{\text{тр}}R$.

Отсюда $F_{\text{тр}} = \frac{0,8\pi mR\Delta T}{T^2\Delta t}$.

Проведя вычисления, найдём:

$F_{\text{тр}} = \frac{0,8 \cdot 3,14 \cdot 6 \cdot 10^{24} \cdot 6,4 \cdot 10^6 \cdot 0,001}{(24 \cdot 3600)^2 \cdot 100 \cdot 365 \cdot 24 \cdot 3600} (\text{Н}) \approx 4 \cdot 10^9 \text{ Н}$.

Дано:

Интервал времени, $ \Delta t = 100 \text{ лет} $

Увеличение продолжительности суток, $ \Delta T = 0,001 \text{ с} $

Масса Земли, $ m = 6 \cdot 10^{24} \text{ кг} $

Радиус Земли, $ R = 6,4 \cdot 10^6 \text{ м} $

Начальная продолжительность суток, $ T \approx 24 \text{ часа} $

Перевод в систему СИ:

$ \Delta t = 100 \text{ лет} = 100 \cdot 365 \cdot 24 \cdot 3600 \text{ с} = 3153600000 \text{ с} \approx 3,15 \cdot 10^9 \text{ с} $

$ T = 24 \text{ часа} = 24 \cdot 3600 \text{ с} = 86400 \text{ с} $

Найти:

$ F_{тр} $ — приливная сила трения.

Решение:

Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела имеет вид $ M = I \varepsilon $, где $\text{M}$ – момент сил, вызывающий изменение скорости вращения, $\text{I}$ – момент инерции тела, а $ \varepsilon $ – его угловое ускорение.

В данной задаче замедление вращения Земли вызвано моментом приливной силы трения. Будем считать, что эта сила $ F_{тр} $ приложена на экваторе перпендикулярно радиусу. В этом случае момент силы трения равен:

$ M_{тр} = F_{тр} R $

Землю можно считать однородным шаром, момент инерции которого относительно оси вращения, проходящей через центр, вычисляется по формуле:

$ I = \frac{2}{5} m R^2 = 0,4 m R^2 $

Угловое ускорение $ \varepsilon $ по определению равно отношению изменения угловой скорости $ \Delta \omega $ ко времени, за которое это изменение произошло, $ \Delta t $. Поскольку вращение замедляется, мы будем использовать модуль углового ускорения:

$ \varepsilon = \frac{|\Delta \omega|}{\Delta t} $

Угловая скорость $ \omega $ связана с периодом вращения $\text{T}$ (продолжительностью суток) соотношением $ \omega = \frac{2\pi}{T} $.

За время $ \Delta t $ период вращения увеличился с $\text{T}$ до $ T + \Delta T $. Найдем соответствующее изменение угловой скорости:

$ \Delta \omega = \omega_{конечная} - \omega_{начальная} = \frac{2\pi}{T + \Delta T} - \frac{2\pi}{T} $

Приводя дроби к общему знаменателю, получаем:

$ \Delta \omega = 2\pi \frac{T - (T + \Delta T)}{T(T + \Delta T)} = - \frac{2\pi \Delta T}{T(T + \Delta T)} $

Поскольку величина $ \Delta T $ ($0,001$ с) очень мала по сравнению с периодом $\text{T}$ ($86400$ с), в знаменателе можно сделать допущение $ T + \Delta T \approx T $. Тогда модуль изменения угловой скорости будет:

$ |\Delta \omega| \approx \frac{2\pi \Delta T}{T^2} $

Подставим это выражение в формулу для углового ускорения:

$ \varepsilon \approx \frac{2\pi \Delta T}{T^2 \Delta t} $

Теперь вернемся к основному уравнению динамики $ M_{тр} = I \varepsilon $ и подставим в него все полученные выражения:

$ F_{тр} R = (0,4 m R^2) \left( \frac{2\pi \Delta T}{T^2 \Delta t} \right) $

Сократив обе части на $\text{R}$, выразим искомую силу трения $ F_{тр} $:

$ F_{тр} = \frac{0,4 m R \cdot 2\pi \Delta T}{T^2 \Delta t} = \frac{0,8 \pi m R \Delta T}{T^2 \Delta t} $

Подставим числовые значения в систему СИ и проведем вычисления:

$ F_{тр} = \frac{0,8 \cdot 3,14 \cdot (6 \cdot 10^{24} \text{ кг}) \cdot (6,4 \cdot 10^6 \text{ м}) \cdot (0,001 \text{ с})}{(86400 \text{ с})^2 \cdot (100 \cdot 365 \cdot 24 \cdot 3600 \text{ с})} $

$ F_{тр} \approx \frac{9,65 \cdot 10^{28}}{7,46 \cdot 10^9 \cdot 3,15 \cdot 10^9} \text{ Н} \approx \frac{9,65 \cdot 10^{28}}{2,35 \cdot 10^{19}} \text{ Н} \approx 4,1 \cdot 10^9 \text{ Н} $

Округляя результат, получаем значение, указанное в исходной задаче.

Ответ:

Приливная сила трения $ F_{тр} \approx 4 \cdot 10^9 \text{ Н} $.