Номер 11.2, страница 67 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

11.2. На барабан радиусом $R = 0,5 \text{ м}$ с горизонтальной осью вращения намотан шнур, к концу которого привязан груз массой $m = 10 \text{ кг}$. Определите момент инерции барабана, если известно, что его угловое ускорение $\varepsilon = 2 \text{ рад/с}^2$. Трение не учитывайте.

Дано:

Радиус барабана, $R = 0,5 \text{ м}$

Масса груза, $m = 10 \text{ кг}$

Угловое ускорение, $ε = 2 \text{ рад/с}^2$

Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$

Найти:

Момент инерции барабана, $\text{J}$

Решение:

На груз, движущийся вниз, действуют две силы: сила тяжести $\text{mg}$, направленная вниз, и сила натяжения шнура $\text{T}$, направленная вверх. Согласно второму закону Ньютона, уравнение движения груза в проекции на вертикальную ось, направленную вниз, имеет вид:

$mg - T = ma$

где $\text{a}$ — линейное ускорение груза.

На барабан действует сила натяжения шнура $\text{T}$, которая создает вращающий момент $\text{M}$. Согласно основному уравнению динамики вращательного движения:

$M = Jε$

где $\text{J}$ — искомый момент инерции барабана. Вращающий момент $\text{M}$ равен произведению силы $\text{T}$ на плечо силы, которое равно радиусу барабана $\text{R}$:

$M = T \cdot R$

Таким образом, мы можем записать:

$T \cdot R = Jε$

Линейное ускорение $\text{a}$ точек на ободе барабана (и, следовательно, ускорение груза) связано с угловым ускорением $ε$ соотношением (при условии, что шнур не проскальзывает):

$a = εR$

Мы получили систему из трех уравнений:

1. $mg - T = ma$

2. $TR = Jε$

3. $a = εR$

Подставим выражение для $\text{a}$ из третьего уравнения в первое:

$mg - T = mεR$

Выразим из этого уравнения силу натяжения $\text{T}$:

$T = mg - mεR = m(g - εR)$

Теперь подставим полученное выражение для $\text{T}$ во второе уравнение:

$m(g - εR)R = Jε$

Отсюда выразим момент инерции $\text{J}$:

$J = \frac{m(g - εR)R}{ε}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$J = \frac{10 \text{ кг} \cdot (9,8 \text{ м/с}^2 - 2 \text{ рад/с}^2 \cdot 0,5 \text{ м}) \cdot 0,5 \text{ м}}{2 \text{ рад/с}^2}$

$J = \frac{10 \cdot (9,8 - 1) \cdot 0,5}{2} \text{ кг} \cdot \text{м}^2$

$J = \frac{10 \cdot 8,8 \cdot 0,5}{2} \text{ кг} \cdot \text{м}^2$

$J = \frac{44}{2} \text{ кг} \cdot \text{м}^2 = 22 \text{ кг} \cdot \text{м}^2$

Ответ: $22 \text{ кг} \cdot \text{м}^2$.