Номер 13.2, страница 76 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

13.2. Масса ракеты с топливом $m_0 = 10^6$ кг. Рассчитайте расход топлива, необходимый для достижения ракетой первой космической скорости $v = 8 \cdot 10^3$ м/с, если скорость газовой струи относительно ракеты равна $u = 4 \cdot 10^3$ м/с.

Дано:

Начальная масса ракеты с топливом $m_0 = 10^6$ кг

Конечная скорость ракеты (первая космическая) $v = 8 \cdot 10^3$ м/с

Скорость газовой струи относительно ракеты $u = 4 \cdot 10^3$ м/с

Найти:

Массу израсходованного топлива $m_т$.

Решение:

Для определения массы топлива, необходимого для достижения ракетой заданной скорости, используется формула Циолковского:

$v = u \cdot \ln\left(\frac{m_0}{m_k}\right)$

где $\text{v}$ — конечная скорость ракеты, $\text{u}$ — скорость истечения газов относительно ракеты, $m_0$ — начальная масса ракеты (с топливом), а $m_k$ — конечная масса ракеты (после расхода топлива).

Из этой формулы необходимо выразить конечную массу ракеты $m_k$. Сначала выразим натуральный логарифм:

$\ln\left(\frac{m_0}{m_k}\right) = \frac{v}{u}$

Далее, потенцируя обе части уравнения (используя экспоненту), получаем отношение масс:

$\frac{m_0}{m_k} = e^{\frac{v}{u}}$

Отсюда выражаем конечную массу $m_k$:

$m_k = \frac{m_0}{e^{\frac{v}{u}}}$

Подставим данные из условия задачи для нахождения показателя степени:

$\frac{v}{u} = \frac{8 \cdot 10^3 \text{ м/с}}{4 \cdot 10^3 \text{ м/с}} = 2$

Теперь вычислим конечную массу ракеты:

$m_k = \frac{10^6 \text{ кг}}{e^2}$

Используя значение $e \approx 2.718$, получаем $e^2 \approx 7.389$.

$m_k \approx \frac{10^6}{7.389} \text{ кг} \approx 135335 \text{ кг}$

Масса израсходованного топлива $m_т$ — это разность между начальной и конечной массами ракеты:

$m_т = m_0 - m_k$

$m_т \approx 10^6 \text{ кг} - 135335 \text{ кг} = 864665 \text{ кг}$

Таким образом, расход топлива составляет примерно 864665 кг, или 864.7 т.

Ответ: расход топлива, необходимый для достижения ракетой первой космической скорости, составляет приблизительно $8.65 \cdot 10^5$ кг (или 865 тонн).