Номер 3, страница 87 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

ЗАДАЧА 3. Рассчитайте вторую космическую скорость. Сравните её с первой космической скоростью.

Решение. Вторая космическая скорость — это скорость, необходимая кораблю для того, чтобы удалиться от Земли на бесконечно большое расстояние, т. е. покинуть поле тяготения Земли. Эту же скорость приобретает у Земли космический корабль, который на бесконечно большом расстоянии покоился, а затем стал падать на Землю под действием силы тяготения. В этом случае работа силы тяготения является мерой увеличения кинетической энергии корабля и одновременно мерой уменьшения его потенциальной энергии:

$A = \Delta E_k = -\Delta E_p$.

Выразим $\Delta E_k$ и $\Delta E_p$:

$\Delta E_k = \frac{m v_{II}^2}{2} - 0 = \frac{m v_{II}^2}{2}$, $\Delta E_p = -G \frac{m M}{R} - 0 = -G \frac{m M}{R}$.

Так как $\Delta E_k = -\Delta E_p$, то $\frac{m v_{II}^2}{2} = G \frac{m M}{R}$, откуда

$v_{II} = \sqrt{\frac{2 G M}{R}} = \sqrt{\frac{2 G M}{R^2} R} = \sqrt{2 g R}$.

Подставляя числовые значения, получаем $v_{II} = 1,12 \cdot 10^4$ м/с.

Первая космическая скорость определяется уравнением $v_I = \sqrt{\frac{G M}{R}} = \sqrt{g R}$.

Сравнивая эти выражения, получаем $v_{II} = v_I \sqrt{2}$.

Дано:

Для расчетов используются следующие константы для планеты Земля:

Гравитационная постоянная $G \approx 6.67 \times 10^{-11} \text{ Н} \cdot \text{м}^2/\text{кг}^2$
Масса Земли $M \approx 5.97 \times 10^{24} \text{ кг}$
Средний радиус Земли $R \approx 6.37 \times 10^6 \text{ м}$
Ускорение свободного падения у поверхности Земли $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

Найти:

1. Вторую космическую скорость $v_{II}$.
2. Соотношение между второй ($v_{II}$) и первой ($v_I$) космическими скоростями.

Решение:

1. Расчет второй космической скорости ($v_{II}$)

Вторая космическая скорость (параболическая скорость, скорость убегания) — это минимальная скорость, которую необходимо сообщить телу у поверхности планеты, чтобы оно смогло преодолеть её гравитационное притяжение и удалиться на бесконечно большое расстояние.

Для того чтобы тело покинуло поле тяготения Земли, его полная механическая энергия должна быть не меньше нуля. В предельном случае (когда скорость минимально достаточна), полная энергия тела на бесконечности равна нулю, так как его кинетическая энергия ($E_k$) и потенциальная энергия ($E_p$) обращаются в ноль.

Воспользуемся законом сохранения полной механической энергии. Энергия тела на поверхности Земли должна быть равна его энергии на бесконечности:

$E_{начальная} = E_{конечная}$

Начальная энергия (на поверхности Земли, $r=R$) — это сумма кинетической и потенциальной энергий:

$E_{начальная} = \frac{mv_{II}^2}{2} + (-\frac{GMm}{R})$

Здесь $\text{m}$ — масса тела, $\text{M}$ — масса Земли, $\text{R}$ — радиус Земли, а $v_{II}$ — искомая вторая космическая скорость. Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия отрицательна и на бесконечности принимается равной нулю.

Конечная энергия (на бесконечности, $r \to \infty$) равна нулю:

$E_{конечная} = 0$

Приравниваем начальную и конечную энергии:

$\frac{mv_{II}^2}{2} - \frac{GMm}{R} = 0$

Переносим член с потенциальной энергией в правую часть и сокращаем массу тела $\text{m}$:

$\frac{v_{II}^2}{2} = \frac{GM}{R}$

Отсюда выражаем вторую космическую скорость:

$v_{II} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$

Также можно выразить эту скорость через ускорение свободного падения у поверхности $g = \frac{GM}{R^2}$, откуда $GM = gR^2$. Подставив это в формулу, получаем:

$v_{II} = \sqrt{\frac{2gR^2}{R}} = \sqrt{2gR}$

Подставим числовые значения:

$v_{II} = \sqrt{2 \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot 6.37 \times 10^6 \text{ м}} \approx \sqrt{124.85 \times 10^6 \text{ м}^2/\text{с}^2} \approx 11174 \text{ м/с}$

Округляя, получаем значение, указанное в задаче:

$v_{II} \approx 1.12 \times 10^4 \text{ м/с} = 11.2 \text{ км/с}$

Ответ: Вторая космическая скорость для Земли составляет примерно $1.12 \cdot 10^4$ м/с, или 11.2 км/с.

2. Сравнение второй и первой космических скоростей

Первая космическая скорость ($v_I$) — это скорость, которую нужно сообщить телу, чтобы оно стало искусственным спутником, движущимся по круговой орбите вблизи поверхности планеты. Она определяется из условия, что гравитационная сила сообщает телу центростремительное ускорение:

$F_{тяг} = F_{цс}$

$\frac{GMm}{R^2} = \frac{mv_I^2}{R}$

Сократив $\text{m}$ и $\text{R}$, получим:

$v_I^2 = \frac{GM}{R}$

$v_I = \sqrt{\frac{GM}{R}}$ (или, используя $\text{g}$, $v_I = \sqrt{gR}$)

Теперь сравним формулы для $v_{II}$ и $v_I$:

$v_{II} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$
$v_I = \sqrt{\frac{GM}{R}}$

Из этих формул очевидно следующее соотношение:

$v_{II} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{GM}{R}} = v_I \sqrt{2}$

Таким образом, вторая космическая скорость больше первой космической скорости в $\sqrt{2}$ раз (приблизительно в 1.414 раза).

Ответ: Вторая космическая скорость больше первой в $\sqrt{2}$ раз, то есть $v_{II} = v_I \sqrt{2}$.