Номер 15.6, страница 90 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

15.6. Метеорит, скорость которого на большом расстоянии от Луны $v_0 = 2360$ м/с, летит по направлению к Луне, радиус которой $R = 1,74 \cdot 10^6$ м. Определите минимальное прицельное расстояние $\text{l}$, при котором метеорит не упадёт на поверхность Луны (рис. 1.49). Ускорение свободного падения на Луне $g_Л = 1,6$ м/с$^2$.

Рис. 1.49

Дано:

Скорость метеорита на большом расстоянии от Луны, $v_0 = 2360$ м/с

Радиус Луны, $R = 1,74 \cdot 10^6$ м

Ускорение свободного падения на Луне, $g_Л = 1,6$ м/с²

Найти:

Минимальное прицельное расстояние, $\text{l}$

Решение:

Движение метеорита в гравитационном поле Луны описывается законами сохранения энергии и момента импульса. Мы рассматриваем систему, состоящую из Луны и метеорита, и считаем её замкнутой.

Минимальное прицельное расстояние $\text{l}$, при котором метеорит не упадёт на поверхность, соответствует траектории, при которой метеорит касается поверхности Луны в точке наибольшего сближения. В этой точке расстояние от метеорита до центра Луны равно её радиусу $\text{R}$, а его скорость $\text{v}$ перпендикулярна радиус-вектору.

1. Закон сохранения момента импульса.

Момент импульса метеорита массой $\text{m}$ на большом расстоянии от Луны (в начальном состоянии) относительно её центра равен $L_0 = m v_0 l$.

В точке максимального сближения (касания поверхности) момент импульса равен $L = m v R$, так как вектор скорости перпендикулярен радиус-вектору.

Приравнивая начальный и конечный моменты импульса ($L_0 = L$):

$m v_0 l = m v R$

Отсюда выразим скорость метеорита в точке касания:

$v = \frac{v_0 l}{R}$ (1)

2. Закон сохранения энергии.

Полная механическая энергия метеорита на большом расстоянии, где потенциальной энергией можно пренебречь ($U_0 = 0$), равна его кинетической энергии:

$E_0 = \frac{m v_0^2}{2}$

Полная энергия в точке касания поверхности Луны равна сумме кинетической и потенциальной энергий:

$E = \frac{m v^2}{2} - \frac{GMm}{R}$, где $\text{G}$ - гравитационная постоянная, $\text{M}$ - масса Луны.

Приравнивая начальную и конечную энергии ($E_0 = E$):

$\frac{m v_0^2}{2} = \frac{m v^2}{2} - \frac{GMm}{R}$

Сократив массу $\text{m}$, получаем:

$\frac{v_0^2}{2} = \frac{v^2}{2} - \frac{GM}{R}$ (2)

Ускорение свободного падения на поверхности Луны определяется как $g_Л = \frac{GM}{R^2}$. Отсюда можно выразить $GM = g_Л R^2$. Подставим это в уравнение (2):

$\frac{v_0^2}{2} = \frac{v^2}{2} - \frac{g_Л R^2}{R}$

$v_0^2 = v^2 - 2g_Л R$

3. Нахождение $\text{l}$.

Подставим в полученное уравнение выражение для $\text{v}$ из формулы (1):

$v_0^2 = \left(\frac{v_0 l}{R}\right)^2 - 2g_Л R$

$v_0^2 + 2g_Л R = \frac{v_0^2 l^2}{R^2}$

Теперь выразим $l^2$:

$l^2 = \frac{R^2 (v_0^2 + 2g_Л R)}{v_0^2} = R^2 \left(1 + \frac{2g_Л R}{v_0^2}\right)$

Искомое прицельное расстояние $\text{l}$ равно:

$l = R \sqrt{1 + \frac{2g_Л R}{v_0^2}}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$l = 1,74 \cdot 10^6 \cdot \sqrt{1 + \frac{2 \cdot 1,6 \cdot 1,74 \cdot 10^6}{(2360)^2}} = 1,74 \cdot 10^6 \cdot \sqrt{1 + \frac{5568000}{5569600}}$

$l = 1,74 \cdot 10^6 \cdot \sqrt{1 + 0,9997127} = 1,74 \cdot 10^6 \cdot \sqrt{1,9997127} \approx 1,74 \cdot 10^6 \cdot 1,4141155$

$l \approx 2460560,8$ м

Округляя до трех значащих цифр, получаем:

$l \approx 2,46 \cdot 10^6$ м.

Ответ: Минимальное прицельное расстояние, при котором метеорит не упадёт на поверхность Луны, составляет приблизительно $l \approx 2,46 \cdot 10^6$ м или 2460 км.