Номер 16.3, страница 95 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

16.3. В дне сосуда цилиндрической формы имеется круглое отверстие. Выведите зависимость изменения скорости истечения воды из сосуда от высоты её уровня в сосуде.

Дано:

$\text{h}$ - высота уровня воды в сосуде

$\text{g}$ - ускорение свободного падения

Найти:

$v(h)$ - зависимость скорости истечения воды от высоты ее уровня в сосуде

Решение:

Для вывода искомой зависимости воспользуемся уравнением Бернулли, которое описывает стационарное течение идеальной (невязкой и несжимаемой) жидкости:

$p + \frac{\rho v^2}{2} + \rho g z = \text{const}$

где $\text{p}$ – давление в жидкости, $\rho$ – плотность жидкости, $\text{v}$ – скорость ее течения, $\text{z}$ – высота над некоторым условным нулевым уровнем, $\text{g}$ – ускорение свободного падения.

Рассмотрим два сечения потока жидкости. Первое сечение (1) – на свободной поверхности воды в цилиндрическом сосуде. Второе сечение (2) – на выходе из круглого отверстия в дне сосуда. Примем уровень дна сосуда, где находится отверстие, за нулевую высоту.

Параметры жидкости в сечении 1 (на поверхности): высота $z_1 = h$, давление $p_1 = p_a$ (атмосферное давление, так как сосуд открыт), скорость $v_1$ (скорость опускания уровня воды).

Параметры жидкости в сечении 2 (в отверстии): высота $z_2 = 0$, давление $p_2 = p_a$ (вытекающая струя контактирует с атмосферой), скорость $v_2 = v$ (искомая скорость истечения).

Запишем уравнение Бернулли, применив его к сечениям 1 и 2:

$p_1 + \frac{\rho v_1^2}{2} + \rho g z_1 = p_2 + \frac{\rho v_2^2}{2} + \rho g z_2$

Подставим значения параметров для этих сечений:

$p_a + \frac{\rho v_1^2}{2} + \rho g h = p_a + \frac{\rho v^2}{2} + \rho g \cdot 0$

Сократим в обеих частях уравнения атмосферное давление $p_a$ и, разделив на плотность $\rho$, получим:

$\frac{v_1^2}{2} + g h = \frac{v^2}{2}$

Поскольку сосуд имеет значительную площадь поперечного сечения по сравнению с площадью отверстия, скорость понижения уровня воды в сосуде $v_1$ будет намного меньше скорости истечения $\text{v}$. В таком случае скоростью $v_1$ можно пренебречь, положив $v_1 \approx 0$. Это допущение справедливо, если площадь сечения сосуда $S_1$ много больше площади отверстия $S_2$ ($S_1 \gg S_2$), так как из уравнения неразрывности струи $S_1 v_1 = S_2 v$ следует, что $v_1 = v \frac{S_2}{S_1}$.

С учетом этого допущения уравнение принимает вид:

$g h = \frac{v^2}{2}$

Из этого соотношения выразим искомую скорость истечения $\text{v}$:

$v^2 = 2gh$

$v = \sqrt{2gh}$

Полученное выражение является формулой Торричелли. Она показывает, что скорость истечения воды из отверстия пропорциональна квадратному корню из высоты уровня воды в сосуде.

Ответ:

Зависимость скорости истечения воды $\text{v}$ от высоты ее уровня $\text{h}$ в сосуде выражается формулой $v = \sqrt{2gh}$.