Номер 17.1, страница 102 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

РЕШИТЕ

17.1. Груз массой $\text{m}$ подвешен на двух пружинах жёсткостью $k_1$ и $k_2$. Чему равны периоды малых колебаний груза в случаях:

а) пружины соединены параллельно;

б) пружины соединены последовательно?

Дано:

Масса груза: $\text{m}$

Жёсткость первой пружины: $k_1$

Жёсткость второй пружины: $k_2$

Найти:

$T_а$ — период колебаний при параллельном соединении.

$T_б$ — период колебаний при последовательном соединении.

Решение:

Период малых колебаний пружинного маятника определяется общей формулой:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_{экв}}}$

где $\text{m}$ — масса груза, а $k_{экв}$ — эквивалентная (общая) жёсткость системы пружин. Наша задача сводится к нахождению эквивалентной жёсткости для каждого типа соединения.

а) пружины соединены параллельно;

При параллельном соединении пружины крепятся к грузу с одной стороны и к общему основанию с другой. При смещении груза на расстояние $\text{x}$ обе пружины растягиваются или сжимаются на одинаковую величину $\text{x}$.

Возникающая в системе возвращающая сила упругости $F_{общ}$ равна сумме сил упругости, возникающих в каждой пружине:

$F_{общ} = F_1 + F_2$

По закону Гука, $F_1 = k_1 x$ и $F_2 = k_2 x$. Тогда:

$F_{общ} = k_1 x + k_2 x = (k_1 + k_2)x$

С другой стороны, для эквивалентной пружины $F_{общ} = k_{экв} x$. Сравнивая эти два выражения, получаем эквивалентную жёсткость для параллельного соединения:

$k_{экв, а} = k_1 + k_2$

Теперь подставим эту жёсткость в формулу для периода колебаний:

$T_a = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_{экв, а}}} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_1 + k_2}}$

Ответ: $T_a = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_1 + k_2}}$

б) пружины соединены последовательно?

При последовательном соединении пружины соединены друг с другом, и груз подвешен к концу последней пружины. В этом случае сила упругости $\text{F}$, действующая на систему, одинакова для обеих пружин ($F_1 = F_2 = F$).

Общее удлинение системы $x_{общ}$ равно сумме удлинений каждой из пружин:

$x_{общ} = x_1 + x_2$

Из закона Гука для каждой пружины: $x_1 = \frac{F}{k_1}$ и $x_2 = \frac{F}{k_2}$. Подставим их в формулу для общего удлинения:

$x_{общ} = \frac{F}{k_1} + \frac{F}{k_2} = F \left( \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2} \right)$

Для эквивалентной пружины $x_{общ} = \frac{F}{k_{экв}}$. Приравнивая выражения для $x_{общ}$, получаем:

$\frac{F}{k_{экв, б}} = F \left( \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2} \right)$

Сократив $\text{F}$, находим выражение для эквивалентной жёсткости:

$\frac{1}{k_{экв, б}} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2} = \frac{k_2 + k_1}{k_1 k_2}$

Отсюда, $k_{экв, б} = \frac{k_1 k_2}{k_1 + k_2}$.

Подставим эту жёсткость в формулу для периода:

$T_б = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_{экв, б}}} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{\frac{k_1 k_2}{k_1 + k_2}}} = 2\pi \sqrt{\frac{m(k_1 + k_2)}{k_1 k_2}}$

Ответ: $T_б = 2\pi \sqrt{\frac{m(k_1 + k_2)}{k_1 k_2}}$