Номер 1, страница 162 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

1. Вычислите максимальный диаметр стального цилиндрика (иглы), который может плавать на поверхности воды при нанесении на его поверхность плёнки, не смачиваемой водой. Результат расчёта проверьте в опытах со швейными иглами.

Дано:

Цилиндр (игла) - стальной
Жидкость - вода
Поверхность цилиндра не смачивается водой.
Плотность стали, $\rho_{ст} = 7850$ кг/м$^3$
Коэффициент поверхностного натяжения воды (при 20°C), $\sigma = 7.3 \cdot 10^{-2}$ Н/м
Ускорение свободного падения, $g = 9.8$ м/с$^2$

Найти:

Максимальный диаметр цилиндра, $d_{max}$ - ?

Решение:

Стальной цилиндр (игла) будет плавать на поверхности воды, если действующая на него сила тяжести будет уравновешена силами поверхностного натяжения. Для нахождения максимального диаметра рассмотрим предельный случай, когда сила тяжести равна максимальной силе поверхностного натяжения.

Условие плавания:

$F_{т} = F_{\sigma}$

где $F_{т}$ — сила тяжести, а $F_{\sigma}$ — сила поверхностного натяжения.

Сила тяжести, действующая на цилиндр длиной $\text{L}$ и диаметром $\text{d}$:

$F_{т} = m \cdot g = \rho_{ст} \cdot V \cdot g$

Объем цилиндра $\text{V}$ вычисляется по формуле:

$V = S \cdot L = \frac{\pi d^2}{4} \cdot L$

Следовательно, сила тяжести равна:

$F_{т} = \rho_{ст} \cdot \frac{\pi d^2 L}{4} \cdot g$

Сила поверхностного натяжения действует вдоль двух линий соприкосновения цилиндра с водой, по одной с каждой стороны. Длина каждой линии равна длине цилиндра $\text{L}$. Поскольку поверхность цилиндра не смачивается, вода не поднимается по стенкам, а прогибается вниз. Максимальная удерживающая сила достигается, когда касательные к поверхности воды в точках контакта направлены вертикально. В этом случае сила поверхностного натяжения также направлена вертикально вверх и равна:

$F_{\sigma} = 2 \cdot \sigma \cdot L$

Приравниваем выражения для силы тяжести и силы поверхностного натяжения:

$\rho_{ст} \cdot \frac{\pi d^2 L}{4} \cdot g = 2 \sigma L$

Длина цилиндра $\text{L}$ сокращается, что означает, что результат не зависит от длины иглы (при условии, что она достаточно длинная и краевыми эффектами можно пренебречь):

$\rho_{ст} \cdot \frac{\pi d^2}{4} \cdot g = 2 \sigma$

Выразим из этого уравнения максимальный диаметр $d_{max}$:

$d_{max}^2 = \frac{8 \sigma}{\pi \rho_{ст} g}$

$d_{max} = \sqrt{\frac{8 \sigma}{\pi \rho_{ст} g}}$

Подставим численные значения в СИ:

$d_{max} = \sqrt{\frac{8 \cdot 7.3 \cdot 10^{-2} \text{ Н/м}}{3.14 \cdot 7850 \text{ кг/м}^3 \cdot 9.8 \text{ м/с}^2}} = \sqrt{\frac{0.584}{241475.8}} \approx \sqrt{2.418 \cdot 10^{-6}}$ м

$d_{max} \approx 1.55 \cdot 10^{-3}$ м, что равно $1.55$ мм.

Проверка результата на опыте: диаметр большинства швейных игл составляет от 0.5 до 1.25 мм. Если такую иглу обезжирить и покрыть тонким слоем жира или парафина (чтобы сделать поверхность несмачиваемой) и аккуратно положить плашмя на поверхность воды, она будет плавать. Это наблюдение согласуется с расчетом, так как диаметр таких игл меньше предельного значения $1.55$ мм.

Ответ: Максимальный диаметр стального цилиндрика, который может плавать на поверхности воды при данных условиях, составляет примерно $1.55$ мм.