Номер 37.1, страница 195 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

РЕШИТЕ

37.1. Идеальный газ с начальным давлением $p_1$, занимающий объём $V_1$, расширяется до объёма $V_2$. В каком случае газ совершает большую работу — при изотермическом или адиабатном расширении?

Дано:

Идеальный газ

Начальное давление: $p_1$

Начальный объем: $V_1$

Конечный объем: $V_2$

Происходит расширение, т.е. $V_2 > V_1$.

Рассматриваются два процесса:

1. Изотермическое расширение ($T = \text{const}$)

2. Адиабатное расширение ($Q = 0$)

Найти:

Сравнить работу, совершаемую газом при изотермическом расширении ($A_{изо}$) и при адиабатном расширении ($A_{ад}$).

Решение:

Работа, совершаемая газом при изменении его объема от $V_1$ до $V_2$, определяется по формуле:

$A = \int_{V_1}^{V_2} p dV$

Геометрически работа равна площади под графиком процесса на диаграмме в координатах $p-V$. Чтобы сравнить работы, нам нужно сравнить площади под графиками изотермического и адиабатного процессов.

1. Изотермический процесс.

При изотермическом процессе температура газа остается постоянной ($T = \text{const}$). Для идеального газа согласно закону Бойля-Мариотта произведение давления на объем постоянно:

$p V = \text{const}$, или $p_1 V_1 = p_2 V_2$.

Зависимость давления от объема имеет вид: $p(V) = \frac{p_1 V_1}{V}$.

При изотермическом расширении газ совершает работу, и для поддержания постоянной температуры к нему необходимо подводить теплоту извне. Согласно первому закону термодинамики, $\Delta U = Q - A$. Так как для идеального газа внутренняя энергия зависит только от температуры, при $T = \text{const}$ изменение внутренней энергии $\Delta U = 0$. Следовательно, вся подведенная теплота идет на совершение работы: $Q = A_{изо}$.

2. Адиабатный процесс.

При адиабатном процессе система теплоизолирована, то есть отсутствует теплообмен с окружающей средой ($Q = 0$). Процесс описывается уравнением Пуассона:

$p V^\gamma = \text{const}$, или $p_1 V_1^\gamma = p_2 V_2^\gamma$.

Здесь $\gamma = C_p/C_v$ – показатель адиабаты, который для любого идеального газа больше единицы ($\gamma > 1$).

Зависимость давления от объема имеет вид: $p(V) = \frac{p_1 V_1^\gamma}{V^\gamma}$.

Из первого закона термодинамики для адиабатного процесса ($Q=0$) следует, что $A_{ад} = -\Delta U$. Так как газ расширяется и совершает положительную работу ($A_{ад} > 0$), его внутренняя энергия уменьшается ($\Delta U < 0$), что приводит к понижению температуры газа.

Сравнение процессов.

Оба процесса начинаются из одного и того же начального состояния $(p_1, V_1)$. Сравним давление в обоих процессах при любом объеме $\text{V}$, где $V_1 < V \leq V_2$.

Для изотермического процесса: $p_{изо}(V) = \frac{p_1 V_1}{V}$.

Для адиабатного процесса: $p_{ад}(V) = p_1 \left(\frac{V_1}{V}\right)^\gamma$.

Найдем отношение давлений:

$\frac{p_{изо}(V)}{p_{ад}(V)} = \frac{p_1 V_1 / V}{p_1 (V_1/V)^\gamma} = \frac{V_1}{V} \cdot \left(\frac{V}{V_1}\right)^\gamma = \left(\frac{V}{V_1}\right)^{\gamma-1}$.

Поскольку газ расширяется, $V > V_1$, следовательно, отношение $\frac{V}{V_1} > 1$. Показатель адиабаты $\gamma > 1$, значит, степень $\gamma-1 > 0$.

Таким образом, $\left(\frac{V}{V_1}\right)^{\gamma-1} > 1$, и, следовательно, $\frac{p_{изо}(V)}{p_{ад}(V)} > 1$.

Это означает, что при любом объеме $\text{V}$ в процессе расширения (кроме начального момента) давление при изотермическом процессе выше, чем при адиабатном: $p_{изо}(V) > p_{ад}(V)$.

На $p-V$ диаграмме это выглядит так, что кривая адиабатного процесса (адиабата) идет круче вниз, чем кривая изотермического процесса (изотерма), и, следовательно, лежит под ней. Так как работа численно равна площади под графиком процесса, то площадь под изотермой будет больше площади под адиабатой при расширении от $V_1$ до $V_2$.

Следовательно, $A_{изо} > A_{ад}$.

Ответ: большую работу газ совершает при изотермическом расширении.