Номер 3, страница 270 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

ЗАДАЧА 3. Определите электроёмкость двух конденсаторов С1 и С2, соединённых параллельно и последовательно.

Решение. При параллельном соединении конденсаторов (рис. 4.46) разность потенциалов одинакова для обоих конденсаторов: $\Delta\varphi = \text{const}$, а заряд батареи конденсаторов $q = q_1 + q_2$.

Электроёмкость двух параллельно соединённых конденсаторов равна:

$C = \frac{q}{\Delta\varphi} = \frac{q_1 + q_2}{\Delta\varphi}$

Учитывая, что $q_1 = C_1\Delta\varphi$, $q_2 = C_2\Delta\varphi$, получаем

$C = C_1 + C_2$

Рис. 4.46

При последовательном соединении конденсаторов (рис. 4.47) их заряды одинаковы, так как на соединённых пластинах суммарный заряд равен нулю.

Разность потенциалов на батарее конденсаторов равна сумме разностей потенциалов на каждом конденсаторе:

$\Delta\varphi = \Delta\varphi_1 + \Delta\varphi_2$

Но $\Delta\varphi = \frac{q}{C}$, $\Delta\varphi_1 = \frac{q}{C_1}$, $\Delta\varphi_2 = \frac{q}{C_2}$. Поэтому

$\frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}$

Рис. 4.47

Дано:

Два конденсатора с электроёмкостями $C_1$ и $C_2$.

Найти:

Общую электроёмкость $\text{C}$ при параллельном и последовательном соединении.

Решение:

Параллельное соединение

При параллельном соединении (как показано на рис. 4.46 в условии) конденсаторы подключаются к одним и тем же двум точкам цепи. Это означает, что разность потенциалов (напряжение) на каждом конденсаторе одинакова и равна общей разности потенциалов $\Delta\phi$, приложенной к участку цепи:

$\Delta\phi = \text{const}$

Общий заряд $\text{q}$, который проходит через источник тока для зарядки батареи конденсаторов, распределяется между ними. Согласно закону сохранения электрического заряда, общий заряд батареи конденсаторов равен сумме зарядов на каждом из них:

$q = q_1 + q_2$

Общая (эквивалентная) электроёмкость всей системы по определению равна $C = \frac{q}{\Delta\phi}$. Подставив в эту формулу выражение для общего заряда, получим:

$C = \frac{q_1 + q_2}{\Delta\phi}$

Заряд на каждом отдельном конденсаторе связан с его ёмкостью и приложенным к нему напряжением: $q_1 = C_1\Delta\phi$ и $q_2 = C_2\Delta\phi$. Подставим эти выражения для зарядов в формулу для общей ёмкости:

$C = \frac{C_1\Delta\phi + C_2\Delta\phi}{\Delta\phi}$

Вынесем $\Delta\phi$ за скобки в числителе и сократим:

$C = \frac{\Delta\phi(C_1 + C_2)}{\Delta\phi} = C_1 + C_2$

Ответ: Электроёмкость двух параллельно соединённых конденсаторов равна сумме их электроёмкостей: $C = C_1 + C_2$.

Последовательное соединение

При последовательном соединении (как показано на рис. 4.47 в условии) конденсаторы включаются в цепь один за другим. При подключении к источнику с разностью потенциалов $\Delta\phi$ на обкладках конденсаторов накапливаются заряды. Вследствие явления электростатической индукции заряды на всех обкладках, соединённых последовательно, по модулю равны друг другу и равны заряду $\text{q}$, прошедшему через источник:

$q_1 = q_2 = q$

Важно отметить, что соединенные между собой обкладки (внутренние в цепи) образуют электрически изолированную систему, суммарный заряд которой остается равным нулю.

Общая разность потенциалов $\Delta\phi$ на концах всей цепи складывается из разностей потенциалов на каждом из конденсаторов:

$\Delta\phi = \Delta\phi_1 + \Delta\phi_2$

Из определения электроёмкости $C = q/\Delta\phi$ выразим разность потенциалов для каждого конденсатора и для всей цепи (учитывая, что заряд $\text{q}$ на них одинаков):

$\Delta\phi_1 = \frac{q}{C_1}$

$\Delta\phi_2 = \frac{q}{C_2}$

$\Delta\phi = \frac{q}{C}$

Подставим эти выражения в формулу для суммы разностей потенциалов:

$\frac{q}{C} = \frac{q}{C_1} + \frac{q}{C_2}$

Поскольку $q \neq 0$, можно разделить обе части уравнения на $\text{q}$. В результате получаем формулу для эквивалентной ёмкости при последовательном соединении:

$\frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}$

Ответ: При последовательном соединении двух конденсаторов величина, обратная общей электроёмкости, равна сумме величин, обратных электроёмкостям каждого конденсатора: $\frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}$.