Номер 14, страница 279 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

14. Конденсаторы, электрическая ёмкость которых $C_1 = 4 \text{ мкФ}$ и $C_2 = 8 \text{ мкФ}$, заряжают до напряжения $3 \text{ В}$ каждый, а затем «плюс» одного из них подключают к «минусу» другого и соединяют свободные выводы резистором сопротивлением $1000 \text{ Ом}$. Какое количество теплоты выделится в резисторе?

Дано:

Электрическая ёмкость первого конденсатора, $C_1 = 4$ мкФ $= 4 \cdot 10^{-6}$ Ф

Электрическая ёмкость второго конденсатора, $C_2 = 8$ мкФ $= 8 \cdot 10^{-6}$ Ф

Начальное напряжение на каждом конденсаторе, $U_0 = 3$ В

Сопротивление резистора, $R = 1000$ Ом

Найти:

Количество теплоты, выделившееся в резисторе, $\text{Q}$

Решение:

1. Сначала найдём начальную энергию, запасённую в двух конденсаторах. Энергия одного конденсатора вычисляется по формуле $W = \frac{CU^2}{2}$.

Энергия первого конденсатора: $W_1 = \frac{C_1 U_0^2}{2}$

Энергия второго конденсатора: $W_2 = \frac{C_2 U_0^2}{2}$

Суммарная начальная энергия системы: $W_{нач} = W_1 + W_2 = \frac{(C_1 + C_2)U_0^2}{2}$.

2. Начальные заряды на конденсаторах равны:

$q_1 = C_1 U_0$

$q_2 = C_2 U_0$

3. Конденсаторы соединяют так, что «плюс» одного подключают к «минусу» другого, а свободные выводы соединяют резистором. Это эквивалентно антипараллельному соединению конденсаторов. После перераспределения зарядов через резистор на обкладках установится новое равновесное напряжение $U_{кон}$.

При таком соединении система из двух пар соединенных обкладок является замкнутой. Согласно закону сохранения заряда, полный заряд на соединенных вместе обкладках сохраняется. Суммарный заряд системы будет равен разности начальных зарядов, так как они подключены разноименно: $q_{общ} = |q_2 - q_1| = |C_2 U_0 - C_1 U_0| = (C_2 - C_1)U_0$, так как $C_2 > C_1$.

Общая ёмкость при параллельном соединении: $C_{общ} = C_1 + C_2$.

Конечное напряжение на конденсаторах будет одинаковым и равным: $U_{кон} = \frac{q_{общ}}{C_{общ}} = \frac{(C_2 - C_1)U_0}{C_1 + C_2}$.

4. Конечная энергия системы конденсаторов: $W_{кон} = \frac{C_{общ} U_{кон}^2}{2} = \frac{(C_1 + C_2)}{2} \left( \frac{(C_2 - C_1)U_0}{C_1 + C_2} \right)^2 = \frac{(C_2 - C_1)^2 U_0^2}{2(C_1 + C_2)}$.

5. По закону сохранения энергии, разность между начальной и конечной энергией системы конденсаторов выделится в виде теплоты $\text{Q}$ на резисторе. Значение сопротивления $\text{R}$ влияет только на время процесса, но не на общее количество выделившейся теплоты.

$Q = W_{нач} - W_{кон} = \frac{(C_1 + C_2)U_0^2}{2} - \frac{(C_2 - C_1)^2 U_0^2}{2(C_1 + C_2)}$

Приводя к общему знаменателю:

$Q = \frac{U_0^2}{2(C_1 + C_2)} \left[ (C_1 + C_2)^2 - (C_2 - C_1)^2 \right]$

Используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, получаем:

$Q = \frac{U_0^2}{2(C_1 + C_2)} \left[ ( (C_1+C_2) - (C_2-C_1) ) \cdot ( (C_1+C_2) + (C_2-C_1) ) \right]$

$Q = \frac{U_0^2}{2(C_1 + C_2)} [ (2C_1) \cdot (2C_2) ] = \frac{U_0^2 \cdot 4C_1 C_2}{2(C_1 + C_2)} = \frac{2C_1 C_2 U_0^2}{C_1 + C_2}$

6. Подставим числовые значения:

$Q = \frac{2 \cdot (4 \cdot 10^{-6} \, \text{Ф}) \cdot (8 \cdot 10^{-6} \, \text{Ф}) \cdot (3 \, \text{В})^2}{(4 \cdot 10^{-6} \, \text{Ф}) + (8 \cdot 10^{-6} \, \text{Ф})} = \frac{2 \cdot 4 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10^{-12}}{12 \cdot 10^{-6}} \, \text{Дж}$

$Q = \frac{576 \cdot 10^{-12}}{12 \cdot 10^{-6}} \, \text{Дж} = 48 \cdot 10^{-6} \, \text{Дж} = 48 \, \text{мкДж}$

Ответ: $\text{48}$ мкДж.