Номер 8, страница 279 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

8. Две непроводящие вертикально расположенные параллельные заряженные пластины находятся на расстоянии $d = 10 \text{ см}$ друг от друга. Напряжённость поля между ними $E = 10^5 \text{ В/м}$. Между пластинами на равном расстоянии от них помещён шарик, имеющий заряд $q = 10^{-6} \text{ Кл}$ и массу $m = 40 \text{ г}$. После того как шарик отпустили, он начал падать. Через какое время $\Delta t$ шарик ударится об одну из пластин?

Дано:

$d = 10 \text{ см}$
$E = 10^5 \text{ В/м}$
$q = 10^{-6} \text{ Кл}$
$m = 40 \text{ г}$

$d = 0.1 \text{ м}$
$m = 0.04 \text{ кг}$

Найти:

$\Delta t - ?$

Решение:

На заряженный шарик, помещенный в электрическое поле, действуют две силы: сила тяжести $\vec{F_g}$, направленная вертикально вниз, и электрическая сила $\vec{F_e}$, направленная горизонтально (так как пластины расположены вертикально). Движение шарика является сложением двух независимых движений: равноускоренного движения по вертикали под действием силы тяжести и равноускоренного движения по горизонтали под действием электрической силы.

Введем систему координат. Начало координат $(0,0)$ поместим в начальное положение шарика. Ось $\text{OY}$ направим вертикально вниз, а ось $\text{OX}$ — горизонтально в сторону одной из пластин.

Время движения до удара о пластину определяется только движением по горизонтали (вдоль оси $\text{OX}$). На шарик в этом направлении действует электрическая сила $F_e$: $F_e = qE$

Согласно второму закону Ньютона, эта сила сообщает шарику горизонтальное ускорение $a_x$: $a_x = \frac{F_e}{m} = \frac{qE}{m}$

Шарик был отпущен из состояния покоя, поэтому его начальная скорость равна нулю ($v_0=0$). Путь, пройденный телом при равноускоренном движении без начальной скорости, определяется формулой: $S = \frac{at^2}{2}$

Шарик находится на равном расстоянии от пластин, поэтому для удара об одну из них ему необходимо пройти по горизонтали расстояние $S_x$, равное половине расстояния между пластинами: $S_x = \frac{d}{2}$

Подставим в формулу пути горизонтальное ускорение $a_x$ и путь $S_x$. Искомое время обозначим как $\Delta t$: $\frac{d}{2} = \frac{a_x (\Delta t)^2}{2} = \frac{qE(\Delta t)^2}{2m}$

Упростим выражение, умножив обе части на 2, и выразим $(\Delta t)^2$: $d = \frac{qE(\Delta t)^2}{m}$
$(\Delta t)^2 = \frac{md}{qE}$

Отсюда находим время $\Delta t$: $\Delta t = \sqrt{\frac{md}{qE}}$

Подставим числовые значения в системе СИ: $\Delta t = \sqrt{\frac{0.04 \text{ кг} \cdot 0.1 \text{ м}}{10^{-6} \text{ Кл} \cdot 10^5 \text{ В/м}}} = \sqrt{\frac{0.004}{10^{-1}}} = \sqrt{\frac{0.004}{0.1}} = \sqrt{0.04 \text{ с}^2} = 0.2 \text{ с}$

Вертикальное движение (падение) происходит одновременно, но оно определяет лишь точку на пластине, в которую ударится шарик, и не влияет на время, необходимое для достижения пластины.

Ответ: $\Delta t = 0.2 \text{ с}$.