Номер 12, страница 279 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

12. Конденсатор, электрическая ёмкость которого $C_1 = 5$ мкФ, заряжен так, что разность потенциалов между его пластинами $U_1 = 100$ В. Другой конденсатор, электрическая ёмкость которого $C_2 = 10$ мкФ, имеет разность потенциалов между пластинами $U_2 = 50$ В. Одноимённо заряженные пластины конденсаторов попарно соединили проводниками. Чему равен модуль разности потенциалов $\text{U}$ между пластинами каждого конденсатора?

Дано:

$C_1 = 5 \text{ мкФ} = 5 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$
$U_1 = 100 \text{ В}$
$C_2 = 10 \text{ мкФ} = 10 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$
$U_2 = 50 \text{ В}$

Найти:

$\text{U}$

Решение:

Сначала найдем заряды на каждом конденсаторе до их соединения. Заряд конденсатора вычисляется по формуле $q = C \cdot U$.

Заряд первого конденсатора:

$q_1 = C_1 U_1 = 5 \cdot 10^{-6} \text{ Ф} \cdot 100 \text{ В} = 500 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}$

Заряд второго конденсатора:

$q_2 = C_2 U_2 = 10 \cdot 10^{-6} \text{ Ф} \cdot 50 \text{ В} = 500 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}$

В условии сказано, что одноимённо заряженные пластины конденсаторов соединили проводниками. Это означает, что конденсаторы соединены параллельно. При параллельном соединении положительная пластина одного конденсатора соединяется с положительной пластиной другого, а отрицательная — с отрицательной.

Система из двух конденсаторов является электрически изолированной, поэтому для неё выполняется закон сохранения заряда. Общий заряд системы до соединения равен сумме зарядов на каждом конденсаторе:

$Q_{общ} = q_1 + q_2 = 500 \cdot 10^{-6} \text{ Кл} + 500 \cdot 10^{-6} \text{ Кл} = 1000 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}$

После соединения заряды перераспределятся так, что разность потенциалов на обоих конденсаторах станет одинаковой и равной некоторому значению $\text{U}$. Общая ёмкость системы при параллельном соединении равна сумме ёмкостей:

$C_{общ} = C_1 + C_2 = 5 \text{ мкФ} + 10 \text{ мкФ} = 15 \text{ мкФ} = 15 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$

Общий заряд системы после соединения можно выразить через общую ёмкость и установившуюся разность потенциалов $\text{U}$:

$Q_{общ} = C_{общ} \cdot U$

Так как общий заряд сохраняется, мы можем приравнять его значение до и после соединения, чтобы найти $\text{U}$:

$U = \frac{Q_{общ}}{C_{общ}} = \frac{1000 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}}{15 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}} = \frac{1000}{15} \text{ В}$

Сократим дробь:

$U = \frac{200}{3} \text{ В} \approx 66.7 \text{ В}$

Также можно было решить задачу в общем виде, не вычисляя промежуточные значения зарядов:

$C_1 U_1 + C_2 U_2 = (C_1 + C_2)U$

$U = \frac{C_1 U_1 + C_2 U_2}{C_1 + C_2} = \frac{5 \text{ мкФ} \cdot 100 \text{ В} + 10 \text{ мкФ} \cdot 50 \text{ В}}{5 \text{ мкФ} + 10 \text{ мкФ}} = \frac{500 + 500}{15} \text{ В} = \frac{1000}{15} \text{ В} = \frac{200}{3} \text{ В} \approx 66.7 \text{ В}$

Ответ: модуль разности потенциалов между пластинами каждого конденсатора будет равен $U = \frac{200}{3} \text{ В} \approx 67 \text{ В}$.